Quelltext der Seite Arg max

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Die '''Funktion arg max''' ('''argumentum maximi''', dt. '''Argument des Maximums''') ist eine in der [[Analysis]] und [[Optimierung (Mathematik) | Optimierung]] verwendete Funktion zur Berechnung der Stelle, an der eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ihr [[Extremwert|Maximum]] annimmt. Analog dazu wird die Funktion ''arg min'' benutzt.

== Definition ==
Ist <math>D</math> der [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] einer Funktion <math>f</math>, dann ist <math>\arg\max</math> von <math>f</math> die Stelle <math>x_\mathrm{max}</math>, an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt

:<math> x_\mathrm{max}=\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\,f(x) \Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in D} f(x).</math>

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

=== Beispiel ===
Die Funktion <math>f(x)=x(10-x)</math> besitzt den maximalen Wert <math>25</math>, der an der Stelle <math>x_\mathrm{max}=5</math> angenommen wird. Daher gilt
:<math>\underset{x\in\R}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5.</math>

== Alternative Definition ==
Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird <math>\arg\max</math> alternativ auch als [[Mengenwertige Abbildung|mengenwertige Funktion]] erklärt:
:<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \  f(y) \le f(x)\} = f^{-1}\left( \max_{x \in D} f(x) \right)</math>
Analog dazu wird
:<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,min}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \  f(y) \ge f(x)\} = f^{-1}\left(\min_{x \in D} f(x) \right)</math>
definiert.

=== Beispiel ===
:<math>\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.</math>

== Literatur ==

* Peter Gritzmann ''Grundlagen der Mathematischen Optimierung'', Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.

[[Kategorie:Analysis]]