Quelltext der Seite Fourier-Transformation

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit der Fourier-Transformation für aperiodische Funktionen. Oftmals versteht man unter Fourier-Transformation auch das Bilden der Fourier-Koeffizienten einer [[Fourier-Reihe]].}}

Die '''Fourier-Transformation''' (genauer die '''kontinuierliche Fourier-Transformation;''' Aussprache: {{IPA|[fuʁie]}}) ist eine mathematische Beschreibung aus der [[Fourier-Analysis]], wie kontinuierliche, [[Aperiodizität|aperiodische]] Signale in ein kontinuierliches [[Frequenzspektrum|Spektrum]] zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch '''Fourier-Transformierte''' oder '''Spektralfunktion.''' Diese [[Integraltransformation]] ist benannt nach dem Mathematiker [[Jean Baptiste Joseph Fourier]], der im Jahr 1822 die [[Fourier-Reihe]]n einführte, ein Analogon der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.

== Definition ==
Sei <math>f \in L^1(\R^n)</math> eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte <math>\mathcal{F}f</math> von <math>f</math> ist definiert durch

:<math>
(\mathcal{F}f)(y)
  = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{n/2}}
      \int_{\R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x,
</math>

wobei <math>\mathrm{d} x</math> ein <math>n</math>-dimensionales [[Volumenelement]] sowie <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]] ist und mit <math>y \cdot x</math> das [[Standardskalarprodukt]] der Vektoren <math>y</math> und <math>x</math> gemeint ist. Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor <math>1/(2\pi)^{n/2}</math> wegzulassen, sodass die Rücktransformation den Vorfaktor <math>1/(2\pi)^n</math> erhält. Die Transformation lautet dann:

:<math>
(\mathcal{F}f)(y)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x\;,
</math>
:<math>
f(x)
  = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, e^{\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Dies hat den Nachteil, dass im [[Satz von Parseval]] ein Vorfaktor auftaucht, was bedeutet, dass die Fouriertransformation dann keine [[unitäre Abbildung]] mehr auf <math>L^1( \mathbb{R}^n)\cap L^2( \mathbb{R}^n)</math> ist. Mit anderen Worten: Die [[Signalleistung]] ändert sich dann durch die Fouriertransformation. In der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie findet man auch folgende Konvention, die ohne Vorfaktoren auskommt:

:<math>
(\mathcal{F}f)(y)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x\;,
</math>
:<math>
f(x)
  = \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, e^{2\pi \mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als [[Hartley-Transformation]] bezeichnet. Für reelle Funktionen <math>f</math> kann die Fourier-Transformation durch die [[Sinus- und Kosinus-Transformation]] substituiert werden.

== Anwendungsfall ==
Einen besonderen Anwendungsfall gibt es in der [[Akustik]]: Der reine [[Kammerton]] <math>\bar{a}</math> ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440&nbsp;Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton, gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Die Zusammensetzung dieser Wellen ist eindeutig für die [[Klangfarbe]] jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der [[Grundfrequenz|Grundton]] des Signals, hat dabei die Frequenz 440&nbsp;Hz. Die anderen Wellen, die [[Harmonische|Obertöne]], haben höhere Frequenzen. Wellen höherer Frequenz können nur bis zu einer dem Alter des Menschen entsprechenden Grenzfrequenz von bis zu 20&nbsp;kHz [[Auditive Wahrnehmung|auditiv wahrgenommen]] werden. 

An der Fouriertransformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen. Für analoge Tonsignale wird die kontinuierliche Fourier-Transformation; für digitale Tonsignale, wie mp3-Audiodateien, wird die [[diskrete Fourier-Transformation]] herangezogen. Von Letzterer gibt es auch laufzeitoptimierte Varianten.

Die Schwingungen des Tonsignals eines Instruments können durch Mikrophon und Oszilloskop bildlich dargestellt werden. Dazu gibt es eine anschauliche Einführung<ref>{{Internetquelle |url=https://www.leifiphysik.de/akustik/akustische-wellen/versuche/fourier-analyse-und-synthese-synthese-animation |titel=Akustische Wellen - Fourieranalyse- und -synthese {{!}} LEIFI Physik |zugriff=2018-06-05 |sprache=de}}</ref> in die Fouriertransformierte des Tonsignals eines Horns, einer Klarinette und einer Stimmgabel.

== Beispiel ==
Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

:<math> f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_{\rm s} t) \Theta(t)</math>

oder in komplexer Schreibweise:

:<math> f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \tfrac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}) \Theta(t)\;. </math>

Hier ist <math>x_0</math> die [[Amplitude]] und <math>\omega_{\rm s}</math> die [[Kreisfrequenz]] der Schwingung, <math>\tau</math> die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor <math>1/e</math> abfällt, und <math>\Theta(t)</math> die [[Heaviside-Funktion]].
Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

:<math>\begin{align}
F(\omega)=(\mathcal{F}f)(\omega)
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
     \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
     \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot e^{-t/\tau}
           \cdot \tfrac{1}{2}
           \left(e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}\right)
           \Theta(t) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t}
           \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}}
      \int_{0}^\infty
        e^{-t/\tau}
        \cdot \tfrac{1}{2}
        \left(e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}\right)
        \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t}
        \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \int_{0}^\infty
     \left(
       e^{-t\left(1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)\right)}
     + e^{-t\left(1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)\right)}
     \right)
     \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \left[
     - \frac{1}{1/\tau -\mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega ) }
        e^{-t\left(1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)\right)}
     - \frac{1}{1/\tau +\mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega ) }
       e^{-t\left(1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)\right)}
     \right]_0^\infty\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \left(
       \frac{1}{1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)}
     + \frac{1}{1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)}
     \right)\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}}
     \frac{
       1/\tau + \mathrm{i} \omega
     }{
       (1/\tau + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_{\rm s}^2
     }\,.
\end{align}</math>

== Eigenschaften ==
=== Linearität ===
Die Fourier-Transformation <math>\mathcal{F}</math> ist ein [[linearer Operator]]. Das heißt, es gilt
<math>\mathcal{F}(a \cdot f + b \cdot g) = a \cdot \mathcal{F}(f) + b \cdot \mathcal{F}(g)</math>.

=== Stetigkeit ===
Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom [[Lp-Raum|Raum der integrierbaren Funktionen]] <math>L^1(\R^n)</math> in den [[C0-Funktion|Raum der Funktionen <math>C_0(\R^n)</math>, die im Unendlichen verschwinden]]. Mit <math>C_0(\R^n)</math> ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für <math>|x| \to \infty</math> verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als [[Lemma von Riemann-Lebesgue]] bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung
:<math>\|\mathcal{F}f\|_{L^\infty(\R^n)} \leq \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\|f\|_{L^1(\R^n)}</math>.

=== Differentiationsregeln ===
Sei <math>f \in S(\R^n) \subset L^1(\R^n)</math> eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]] und <math>\alpha \in \N_0^n</math> ein [[Multiindex]]. Dann gilt
* <math>\mathcal{F}f \in S(\R^n)</math> und <math>D^\alpha(\mathcal{F}f) = (-{\rm i})^{|\alpha|} \mathcal{F}(x^\alpha f)</math>.
* <math>(\mathcal{F}(D^\alpha f))(\xi) = {\rm i}^{|\alpha|} \xi^\alpha (\mathcal{F}f)(\xi)</math>.

=== Fixpunkt ===
Die Dichtefunktion
:<math>\varphi(x)=\frac {1}{(2\pi)^{n/2}} \cdot e^{-\frac {1}{2} \|x\|^2}</math>
mit <math>x\in \R^n</math> der (<math>n</math>-dimensionalen) Gauß’schen [[Normalverteilung]] ist ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle <math>x \in \R^n</math> die Gleichung
:<math> (\mathcal{F}\varphi)(x) = \varphi(x)</math>.
Insbesondere ist also <math>\varphi</math> eine [[Eigenfunktion]] der Fourier-Transformation zum [[Eigenwert]] <math>1</math>. Mit Hilfe des [[Residuensatz]]es oder mit Hilfe [[Partielle Integration|partieller Integration]] und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral <math>\textstyle \tfrac {1}{(2\pi)^n} \int_\R e^{{\rm i}x\cdot\xi}e^{-\frac{1}{2} x^2} \mathrm{d} x</math> bestimmt werden.

=== Spiegelsymmetrie ===
Für <math>f \in S(\R^n)</math> gilt für alle <math>x \in \R^n</math> die Gleichung
:<math>(\mathcal{F}^2 f)(x) = (\mathcal{F}(\mathcal{F} f))(x) = f(-x)</math>.
Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum <math>S(\R^n)</math> als Operatorgleichung
:<math>\mathcal{F}^2 = \mathcal{P}</math>
schreiben, wobei
:<math>\mathcal{P}:f\mapsto(x\mapsto f(-x))</math>
den Paritätsoperator bezeichnet.

=== Rücktransformationsformel ===
Sei <math>f \in L^1(\R^n)</math> eine integrierbare Funktion derart, dass auch <math>\mathcal{F}(f) \in L^1(\R^n)</math> gilt. Dann gilt die Rücktransformation
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f))(x) = f(x)= \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{\mathrm{i} t x} \mathcal{F}(f)(t) \,\mathrm{d} t.</math>
Diese wird auch [[Fouriersynthese]] genannt. Auf dem [[Schwartz-Raum]] <math>S(\R^n)</math> ist die Fouriertransformation ein [[Automorphismus]].

=== Faltungstheorem ===
Das [[Faltungstheorem]] für die Fourier-Transformation besagt, dass die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für <math>f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)</math> gilt also
:<math>\mathcal{F}(f*g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \, \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g)</math>.
Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt<ref>Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten, z.&nbsp;B. wie in Tilman Butz: ''Fouriertransformation für Fußgänger.''  Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, [http://books.google.de/books?id=RNsgEcp_a4MC&lpg=PA51&ots=meOb8yOqO-&dq=faltung%20von%20fouriertransformierter&hl=de&pg=PA53#v=onepage&q=faltung%20von%20fouriertransformierter&f=false Google Books.]</ref>
:<math>\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g)</math>.

== Fourier-Transformation von L<sup>2</sup>-Funktionen ==
=== Definition ===
Für eine Funktion <math>f \in L^2(\R^n)</math> ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch
:<math>\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-\mathrm ix \xi} \mathrm{d} x</math>.
Die Konvergenz ist im Sinne von <math>L^2</math> zu verstehen und <math>B_r(0) = \{x \in \R^n : |x| \leq r\}</math> ist die Kugel um den Ursprung mit Radius <math>r</math>. Für Funktionen <math>f \in L^2(\R^n) \cap L^1(\R^n)</math> stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein.
Da die Fouriertransformation bezüglich des <math>L^2</math>-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und
<math>L^2(\R^n)\cap L^1(\R^n)</math> in <math>L^2(\R^n)</math> dicht liegt, folgt,
dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des <math>L^2(\R^n)</math> ist. Dies ist die Aussage des [[Satz von Plancherel|Satzes von Plancherel]].

=== Hausdorff-Young-Ungleichung ===
Seien <math>1 \leq p \leq 2</math> und <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>. Für <math>f \in L^p(\R^n)</math> ist <math>\mathcal{F}(f) \in L^q(\R^n)</math> und es gilt
:<math>\|\mathcal{F}(f)\|_{L^q(\R^n)} \leq \frac{1}{(2 \pi)^{n\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)}} \|f\|_{L^p(\R^n)}</math>.
Die Fourier-Transformation <math>\mathcal{F} : L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)</math> hat also eine [[Stetige Fortsetzung|Fortsetzung]] zu einem stetigen Operator <math>\mathcal{F} : L^p(\R^n) \to L^q(\R^n)</math>, der durch
:<math>\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-\mathrm ix \xi} \mathrm{d} x</math>
beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von <math>L^q</math> zu verstehen.

=== Differentiationsregel ===
Falls die Funktion <math>f</math> schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also <math>f \in W^{k,2}(\R^n) = H^k(\R^n)</math> eine [[Sobolew-Raum#Sobolew-Raum (schwache Ableitungen)|k-mal schwach differenzierbare L<sup>2</sup>-Funktion]] und <math>\alpha</math> ein [[Multiindex]] mit <math>|\alpha| \leq k</math>. Dann gilt
:<math>\mathcal{F}(D^\alpha f)(\xi) = \mathrm i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f)(\xi)</math>.

=== Unitäre Abbildung ===
Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen <math>L^2</math>-Skalarproduktes ein [[unitärer Operator]], das heißt es gilt
:<math>\langle\mathcal{F}(f), g \rangle_{L^2} = \int_{\R^n} \overline{\mathcal{F}(f)}(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} \overline{f}(x) \mathcal{F}^{-1}(g)(x) \mathrm{d} x = \langle f, \mathcal{F}^{-1}(g) \rangle_{L^2}.</math>
Damit liegt das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] der Fourier-Transformation auf der [[Einheitskreis]]linie. Im eindimensionalen Fall (<math>n=1</math>) bilden ferner die [[Hermite-Funktion]]en <math>\left(h_n\right)_{n\in\N_0}</math> im [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|Raum <math>L^2\left(\R\right)</math>]] ein [[vollständiges Orthonormalsystem]] von [[Eigenfunktionen]] zu den Eigenwerten <math>\left(-\mathrm{i}\right)^n</math>.<ref>Helmut Fischer, Helmut Kaul: ''Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.'' 2.&nbsp;Aufl., B.G. Teubner, Wiesbaden 2004. ISBN 3-519-12080-1, §&nbsp;12, Abschn.&nbsp;4.2, S.&nbsp;300–301.</ref>

== Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen ==
{{Hauptartikel|Temperierte Distribution}}

Sei <math>u \in S'(\R^n)</math> eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte <math>\mathcal{F}(u)</math> ist für alle <math>\phi \in S(\R^n)</math> definiert durch
:<math>\mathcal{F}(u)(\phi) := u(\mathcal{F}(\phi))</math>.
Stattet man den Raum <math>S'(\R^n)</math> mit der [[Schwach-*-Topologie]] aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf <math>S'(\R^n)</math>. Ihre Umkehrabbildung lautet
:<math>u(\phi)(-x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))(\phi)(x)</math>.

== Fourier-Transformation von Maßen ==
Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche [[Borel-Maß]]e auf <math>\R^n</math> definiert:
:<math>\check \mu(x) = \int e^{\mathrm i xy} \mu (\mathrm dy)</math>
heißt ''inverse Fourier-Transformierte'' des Maßes. Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].

== Partielle Differentialgleichungen ==
In der [[Partielle Differentialgleichung|Theorie der partiellen Differentialgleichungen]] spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die [[#Differentiationsregel|Differentiationsregel]] und das [[Faltungstheorem]] sind dabei von essentieller Bedeutung.
Am Beispiel der [[Wärmeleitungsgleichung]] wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet
:<math>\left\{\begin{array}{rcll}
\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) &=& \Delta_x u(x,t) &\text{in } \R^n \times ]0,\infty[\\
u(x,t) &=& g(x,t) &\text{auf } \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.</math>
Hierbei bezeichnet <math>\Delta_x</math> den [[Laplace-Operator]], der nur auf die <math>x</math>-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der <math>x</math>-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt
:<math>\left\{\begin{array}{rcll}
\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) (\xi,t) &=& -|\xi|^2 \mathcal{F}(u)(\xi,t) &\text{in } \R^n \times ]0,\infty[\\
\mathcal{F}(u)(\xi,t) &=& \mathcal{F}(g)(\xi,t) &\text{auf } \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.</math>
Hierbei handelt es sich nun um eine [[gewöhnliche Differentialgleichung]], die die Lösung
:<math>\mathcal{F}(u)(\xi,t) = e^{-t|\xi|^2} \mathcal{F}(g)(\xi,t)</math>
hat. Daraus folgt <math>\textstyle u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}\left(\exp(-t|\xi|^2) \mathcal{F}(g)\right)(x,t)</math> und aufgrund des Faltungstheorems gilt
:<math>u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}}</math>
mit <math>\mathcal{F}(F)(\xi,t) = \exp(-t |\xi|^2).</math> Daraus folgt
:<math>F(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{\R^n} e^{\mathrm ix \cdot y - t|y|^2} \mathrm{d} y = \frac{1}{(2t)^\frac{n}{2}} e^{\frac{-|x|^2}{4t}}\,.</math>
Das ist die [[Fundamentallösung]] der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung
:<math>u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} = \frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}} g(\xi) \mathrm{d}\xi\,.</math>

== Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare ==
In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|- style="background:#AAEECC;"
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math> g(t)</math>
|align="center"|<math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
|align="center"|<math> G(f)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>g(t - a)</math>
|<math>e^{- \mathrm i a \omega} G(\omega)</math>
|<math>e^{- \mathrm i 2\pi a f} G(f)</math>
|Zeitverschiebung
|-
|<math>e^{\mathrm iat} g(t)</math>
|<math>G(\omega - a)</math>
|<math>G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|Frequenzverschiebung
|-
|<math>g(a t)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)</math>
|Frequenzskalierung
|-
|<math>g^{(n)}(t)</math>
|<math>(\mathrm i\omega)^n G(\omega)</math>
|<math>(\mathrm i 2\pi f)^n G(f)</math>
|Hier ist <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] und g eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]]. <math>g^{(n)}</math> bezeichnet die <math>n</math>-te Ableitung von g.
|}

=== Quadratisch integrierbare Funktionen ===
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|- style="background:#AAEECC;"
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math> g(t)</math>
|align="center"|<math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
|align="center"|<math>G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>\exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \exp\left(-\frac{2\pi}{a}\cdot \pi f^2\right)</math>
|Die Gaußsche Funktion <math>\exp(-t^2/2)</math> ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss <math>\mathrm{Re}(a)>0</math> sein.
|-
|<math>\operatorname{rect}(a t) </math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)</math>
|Die [[Rechteckfunktion]] und die [[sinc-Funktion]] (<math>\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)</math>).
|-
|<math>\operatorname{si}(a t) \equiv \frac{\sin (a t)}{a t}</math>
|<math>\frac{1}{|a|} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 a}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\pi}{a} f \right)</math>
|Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
|-
|<math>\exp\left(-a|t|\right)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}}</math>
|<math>\frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}</math>
|<math>a>0.</math> Die FT der um den Ursprung [[Exponentialfunktion|exponentiell]] abfallenden Funktion ist eine [[Lorentzkurve]].
|-
|<math>\frac{1}{t^{2}+a^{2}}</math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right)</math>
|
|}

=== Distributionen ===
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|- style="background:#AAEECC;"
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math>g(t)</math>
|align="center"|<math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
|align="center"|<math>G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>e^{\mathrm i a t}</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math>\delta\left(f - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|
|-
|<math>\cos (a t)</math>
|<math>\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}</math>
|<math>\frac{\delta(f - \frac{a}{2\pi}) + \delta(f + \frac{a}{2\pi})}{2}</math>
|
|-
|<math>\sin(at)</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2\mathrm i}</math>
|<math>\frac{\delta(f - \frac{a}{2\pi}) - \delta(f + \frac{a}{2\pi})}{2\mathrm i}</math>
|
|-
|<math>t^n</math>
|<math>\mathrm i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)</math>
|<math>\left(\frac{\mathrm i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)</math>
|Hier ist <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] und <math>\delta^{(n)}</math> die <math>n</math>-te Ableitung der [[Delta-Distribution]].
|-
|<math>\frac{1}{t^n}</math>
|<math>-\mathrm i \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-\mathrm i\omega)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\omega)</math>
|<math>-\mathrm i\pi \frac{(-\mathrm i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(f)</math>
|
|-
|<math>\sgn(t)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{\mathrm i\ \omega }</math>
|<math>\frac{1}{\mathrm i\pi f}</math>
|
|-
|<math>\Theta(t) </math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\mathrm i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm i \pi f} + \delta(f)\right)</math>
|<math>\Theta(t)</math> ist der Einheitssprung ([[Heaviside-Funktion]]).
|-
|<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) </math>
|<math>\frac{\sqrt{2\pi }}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \frac{2\pi }{T} \right)</math>
|<math>\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) </math>
|Das Signal heißt [[Dirac-Kamm]].
|}

== Siehe auch ==
* [[Diskrete Fourier-Transformation]]
* [[Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale]]
* [[Schnelle Fourier-Transformation]]
* [[IFFT|Inverse schnelle Fourier-Transformation]]

== Literatur ==
* {{Literatur  | Autor = Rolf Brigola | Titel = Fourier-Analysis und Distributionen | Jahr = 2013 | Verlag = edition swk | Ort = Hamburg | ISBN = 978-3-8495-2892-8 | Seiten =  }}
* [[Salomon Bochner|S.  Bochner]], [[K. Chandrasekharan]]: ''Fourier Transforms.'' Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (''Annals of mathematics studies'' 19, {{ISSN|0066-2313}}).
* [[Otto Föllinger]]: ''Laplace-, Fourier- und z-Transformation.'' Bearbeitet von Mathias Kluwe. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (''Studium'').
* Lars Hörmander: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators I.'' Springer-Verlag, Second Edition, ISBN 3-540-52345-6.
* Burkhard Lenze: ''Einführung in die Fourier-Analysis.'' 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2.
* [[Michael James Lighthill|M. J. Lighthill]]: ''Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions.'' Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (''Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics'').
* {{EoM
| Titel = Fourier Transform
| Autor = P. I. Lizorkin
| Url = http://eom.springer.de/F/f041150.htm
}}
* Athanasios Papoulis: ''The Fourier Integral and Its Applications.'' Reissued. McGraw-Hill, New York NY u.&nbsp;a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (''McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series'').
* Lothar Papula: ''Mathematische Formelsammlung.'' Springer Verlag. 11. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-2311-3.
* Herbert Sager: ''Fourier-Transformation.'' 1. Auflage 2012, Zürich, vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, ISBN 978-3-7281-3393-9.
* [[Elias M. Stein]], Rami Shakarchi: ''Princeton Lectures in Analysis.'' Band 1: ''Fourier Analysis. An Introduction.'' Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' Springer-Verlag, 6. Auflage, ISBN 978-3-540-72533-6.
* Jörg Lange, [[Tatjana Lange]]: ''Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich.'' Springer Vieweg 2019, ISBN 978-3-658-24849-9.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Fourier Transform|urlname=FourierTransform}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4018014-1}}

[[Kategorie:Harmonische Analysis]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]
[[Kategorie:Joseph Fourier als Namensgeber]]
{{SORTIERUNG:Fouriertransformation}}