Quelltext der Seite Impuls

{{Dieser Artikel|beschreibt die physikalische Größe Impuls, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Für weitere Bedeutungen siehe [[Impuls (Begriffsklärung)]].}}

{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Impuls
|Größenart= 
|Formelzeichen= <math>\vec p</math>
|Dim= 
|AbgeleitetVon= 
|SI= [[Newton (Einheit)|N]]·[[Sekunde|s]]<br />[[Kilogramm|kg]]·[[Meter|m]]·[[Sekunde|s]]<sup>−1</sup>
|SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Länge (Physik)|L]]·[[Zeit|T]]<sup>−1</sup>
|cgs= 
|cgs-Dimension= 
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|esE-Dimension= 
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|Astro= 
|Astro-Dimension= 
|Anglo= 
|Anglo-Dimension= 
|Anmerkungen= 
|SieheAuch= 
}}

Der '''Impuls''' ist eine grundlegende [[physikalische Größe]], die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Impuls eines physikalischen Objekts ist umso größer, je schneller es sich bewegt und je massereicher es ist. Damit steht der Impuls für das, was in der Umgangssprache unscharf mit „[[Schwung]]“ und „[[Wucht]]“ bezeichnet wird.

Das [[Formelzeichen]] des Impulses ist meist <math>p</math> (von {{laS |pellere |de=stoßen, treiben}}). Die Einheit ist im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]] [[Kilogramm|kg]]·[[Meter|m]]·[[Sekunde|s]]<sup>−1</sup>&nbsp;= [[Newton (Einheit)|N]]·[[Sekunde|s]].

Im Gegensatz zur [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] ist der Impuls eine [[physikalische Größe#Skalare, Vektoren und Tensoren|vektorielle]] Größe und hat damit einen Betrag ''und'' eine Richtung. Seine Richtung ist die Bewegungsrichtung des Objekts. Sein Betrag ist in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] durch das Produkt aus der [[Masse (Physik)|Masse]] des Körpers und der [[Geschwindigkeit]] seines [[Massenmittelpunkt]]s gegeben. In der [[Spezielle Relativitätstheorie#Impuls, Masse und Energie|relativistischen Mechanik]] gilt eine andere Formel ([[Viererimpuls]]), die für Geschwindigkeiten weit unterhalb der [[Lichtgeschwindigkeit]] näherungsweise mit der klassischen Formel übereinstimmt. Sie schreibt aber auch masselosen Objekten, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, einen Impuls zu, z.&nbsp;B. klassischen [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] oder [[Photon]]en. 

Der Impuls eines Körpers charakterisiert ausschließlich die [[Translation (Physik)|Translationsbewegung]] seines Massenmittelpunkts. Eine eventuell zusätzlich vorhandene [[Rotation (Physik)|Rotation]] um den Massenmittelpunkt wird durch den [[Drehimpuls]] beschrieben. Der Impuls ist eine additive Größe. Der Gesamtimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Impulse  seiner Teile.

Der Impuls hängt, wie die Geschwindigkeit und die kinetische Energie, von der Wahl des [[Bezugssystem]]s ab. In einem fest gewählten [[Inertialsystem]] ist der Impuls eine [[Erhaltungsgröße]], das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keine [[Kraft|Kräfte]] wirken, behält seinen Gesamtimpuls nach Betrag und Richtung bei. Üben zwei Objekte Kraft aufeinander aus, z.&nbsp;B. bei einem [[Stoß (Physik)|Stoßvorgang]], ändern sich ihre beiden Impulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre vektorielle Summe erhalten bleibt. Die Größe, um die sich der Impuls für eines der Objekte ändert, wird als '''Impulsübertrag''' bezeichnet. Im Rahmen der klassischen Mechanik ist der Impulsübertrag unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.

Der Impulsbegriff entwickelte sich aus der Suche nach dem Maß für die in einem physikalischen Objekt vorhandene „Menge an Bewegung“, die aller Erfahrung nach bei allen inneren Prozessen erhalten bleibt. Daraus erklären sich die heute veralteten Bezeichnungen '''„Bewegungsgröße“''' oder „Bewegungsmenge“ für den Impuls. Mit diesen Bezeichnungen konnte ursprünglich auch die [[kinetische Energie]] gemeint sein; erst Anfang des 19.&nbsp;Jahrhunderts wurden die Begriffe sauber unterschieden. Im Englischen wird der Impuls {{lang|en|''momentum''}} genannt, während {{lang|en|''impulse''}} den Impulsübertrag (Kraftstoß) bezeichnet.<ref>Von [[Archimedes]], bei ihm ist es eine geringe Größe, die den Ausschlag auf einer Waage bewirkt.</ref>

== Definition, Zusammenhänge mit Masse und Energie ==
=== Klassische Mechanik ===
Der Impulsbegriff wurde von [[Isaac Newton]] eingeführt: Er schreibt in [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia Mathematica]]:

{{Zitat |Text=Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate materiae conjunctim. |Übersetzung=Die Größe der Bewegung wird durch die Geschwindigkeit und die Größe der Materie vereint gemessen. |ref=<ref name="Newton Latein">''[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN512261393&DMDID=DMDLOG_0010&LOGID=LOG_0010&PHYSID=PHYS_0035 Digitalisat der Ausgabe der Principia Mathematica von 1726.]'' Abgerufen am 7. Januar 2016.</ref>}}

Mit „Größe der Materie“ ist die Masse gemeint, mit „Größe der Bewegung“ der Impuls. In heutiger Formelsprache ausgedrückt lautet diese Definition also:

: <math>\vec p = m \cdot \vec v</math>

Da die Masse <math>m</math> eine [[Skalar (Mathematik)|skalare]] Größe ist, sind Impuls <math>\vec p</math> und Geschwindigkeit <math>\vec v</math> Vektoren mit gleicher Richtung. Ihre Beträge lassen sich nicht miteinander vergleichen, denn sie haben verschiedene physikalische Dimensionen.

Um die Geschwindigkeit eines Körpers (nach Richtung und/oder Betrag) zu ändern, muss sein Impuls geändert werden. Der übertragene Impuls dividiert durch die dafür benötigte Zeit ist die [[Kraft]] <math>\vec{F}</math>:

: <math>\frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t} = \vec{F}</math>

Aus dem Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Körpers und der auf ihn gewirkten Kraft resultiert für die verrichtete [[Beschleunigungsarbeit]] auch ein Zusammenhang zum Impuls:
:<math>W = \int\limits_{C} \vec F(\vec s)\cdot\mathrm d \vec s = \int\limits_{C} \vec F(\vec s)\,\mathrm dt \cdot \frac{\mathrm d\vec s}{\mathrm dt} = \int\limits_{C}  \mathrm d\vec p\cdot \vec v =  \frac{1}{m}\int\limits_{C}  \mathrm d\vec p\cdot \vec p </math>

Diese Beschleunigungsarbeit ist die [[kinetische Energie]]. Es folgt
: <math>E_{\text{kinetisch}} = \frac{\vec p^{\,2}}{2\, m}= \frac{ m \; \vec v^{\,2} }{2}  </math>.

=== Spezielle Relativitätstheorie ===
Nach der [[Relativitätstheorie]] ist der Impuls eines mit der Geschwindigkeit <math>v</math> bewegten Körpers mit Masse <math>m>0</math> durch
: <math>\vec p = \frac{m \cdot \vec v}{\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}</math>
gegeben. Darin ist <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]] und stets <math>v<c</math>. Der Impuls hängt von der Geschwindigkeit nichtlinear ab, er steigt bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit gegen [[Unendlichkeit#Unendlichkeit in der Mathematik|Unendlich]].

Allgemeingültig ist die [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]]

: <math>E^2 - p^2\cdot c^2=m^2\cdot c^4.</math>

Für Objekte mit Masse folgt:
: <math>E = \frac{m \cdot c^2}{\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}</math>
Für <math>v=0</math> folgt <math>p=0</math> und <math>E=m\,c^2</math> ([[Ruheenergie]]).

Objekte ohne Masse bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Für sie folgt aus der Energie-Impuls-Beziehung

: <math>E = p\,c.</math>

=== Elektromagnetisches Feld ===
{{Siehe auch|Energie-Impuls-Tensor}}
Ein [[elektromagnetisches Feld]] mit elektrischer Feldstärke <math>\vec E</math> und magnetischer Feldstärke <math>\vec H</math> hat die [[Energiedichte]]
: <math>u= \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\frac{1}{2}\mu_0 H^2.</math>

Dazu gehören die Energiestromdichte ([[Poynting-Vektor]])
: <math>\vec{S} =\vec{E}\times\vec{H}</math>
und die Impulsdichte
: <math>\qquad \vec{g} =\frac{1}{c^2}\vec{E}\times\vec{H}.</math>

Über ein bestimmtes Volumen integriert ergeben diese drei Ausdrücke die Energie <math>E</math>, den Energiestrom und den Impuls <math>p</math>, die mit dem gesamten in diesem Volumen befindlichen Feld verbunden sind. Für fortschreitende ebene Wellen ergibt sich wieder <math>E = p\,c</math>.

== Impulserhaltung ==
[[Datei:Billard.JPG|miniatur|Anstoß beim [[Poolbillard]]: Der Impuls der weißen Kugel verteilt sich auf alle Kugeln.]]
{{Hauptartikel|Impulserhaltungssatz}}
In einem [[Inertialsystem]] ist der Impuls eine [[Erhaltungsgröße]]. In einem [[physikalisches System|physikalischen System]], auf das keine äußeren Kräfte wirken, (in diesem Zusammenhang auch als abgeschlossenes System bezeichnet), bleibt die Summe aller Impulse der zum System gehörenden Bestandteile konstant.

Der anfängliche Gesamtimpuls ist dann also auch gleich der Vektorsumme der zu irgendeinem späteren Zeitpunkt vorhandenen Einzelimpulse. Stöße und andere Vorgänge innerhalb des Systems, bei denen sich die Geschwindigkeiten der Bestandteile ändern, enden stets so, dass dieses Prinzip nicht verletzt wird (siehe [[Kinematik (Teilchenprozesse)]]).

Die Impulserhaltung gilt auch beim unelastischen [[Stoß (Physik)|Stoß]]. Dabei nimmt durch [[plastische Verformung]] oder andere Prozesse die kinetische Energie zwar ab, aber der Impulserhaltungssatz ist vom [[Energieerhaltungssatz]] unabhängig und gilt sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen.

== Kraftstoß ==
[[Datei:Zeichnung kraftstoss.svg|miniatur|Impulsänderung und Kraft-Zeit-Fläche]]
Aus der Kraft auf einen Körper und deren Einwirkungsdauer ergibt sich eine Impulsänderung, die als ''Kraftstoß'' bezeichnet wird. Dabei spielen sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft eine Rolle. Der Kraftstoß wird oft mit dem Formelzeichen <math>\vec I</math> bezeichnet, seine [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] ist 1&nbsp;N·s.

Ist die Kraft <math>\vec F</math> im Zeitintervall <math>\Delta t_{1,2}:=t_2-t_1</math> (mit <math>t_1<t_2</math>) konstant, so kann der Kraftstoß berechnet werden als:

:<math>\vec I(t_1,t_2) = \Delta \vec p = \vec F \cdot \Delta t_{1,2}</math>

Ist <math>\vec F</math> dagegen nicht konstant, aber dennoch ohne Vorzeichenwechsel (in jeder einzelnen Kraftkomponente), so kann man unter Ausnutzung des [[Mittelwertsatz der Integralrechnung|Mittelwertsatzes der Integralrechnung]] mit einer mittleren Kraft rechnen.

Im allgemeinen Fall ist <math>\vec F</math> zeitabhängig und der Kraftstoß durch Integration definiert:

:<math>\vec I(t_1,t_2) = \Delta \vec p(t_1,t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) \cdot \mathrm{d}t</math>

== Impuls im Lagrange- und Hamilton-Formalismus ==
Im [[Lagrange-Formalismus|Lagrange-]] und [[Hamiltonsche Mechanik|Hamilton-Formalismus]] wird der [[Generalisierter Impuls|generalisierte Impuls]] eingeführt; die drei Komponenten des Impulsvektors zählen zum generalisierten Impuls; aber auch beispielsweise der [[Drehimpuls]].

Im Hamilton-Formalismus und in der [[Quantenmechanik]] ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Der (generalisierte) Impuls wird in diesem Zusammenhang auch als ''kanonischer Impuls'' bezeichnet. Die möglichen Paare <math>(q,p)</math> von generalisierten Ortskoordinaten <math>q</math> und kanonischen Impulsen <math>p</math> eines physikalischen Systems bilden in der hamiltonschen Mechanik den [[Phasenraum]].

In [[Magnetismus|Magnetfeldern]] enthält der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens einen zusätzlichen Term, der mit dem [[Vektorpotential]] des [[Magnetische Flussdichte|B-Felds]] in Zusammenhang steht (siehe [[Generalisierter Impuls]]).

== Impuls in strömenden Medien ==
{{Siehe auch|Impulsstromdichte}}
Bei kontinuierlich verteilter Masse, wie beispielsweise in der [[Strömungsmechanik]], enthält
ein kleines Gebiet um den Punkt <math>\vec{x}</math> die Masse <math>\rho(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x.</math> Dabei ist <math>\mathrm d^3 x</math> das Volumen des Gebietes. <math>\rho(t,\vec{x})</math> ist die Massendichte und <math>\vec{x} =(x_1,x_2,x_3)</math> der Ortsvektor (Komponenten nummeriert). Sie kann sich mit der Zeit <math>t</math> ändern.

Wenn diese Masse sich mit der Geschwindigkeit <math>\vec{v}(t,\vec{x})</math> bewegt, hat sie den Impuls <math>\rho(t,\vec{x})\,\vec{v}(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x</math>. Dividiert durch das Volumen ergibt sich die Impulsdichte als Massendichte mal Geschwindigkeit: <math>\rho\, \vec{v}</math>.

Wegen der Impulserhaltung gilt für die Impulsdichte an einem festen Ort die [[Kontinuitätsgleichung]]
: <math>\frac{ \partial (\rho\, \vec{v}) }{\partial t} = \vec{f} - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} (\rho\, \vec{v}\,v_i),</math>
die besagt, dass sich die zeitliche Änderung der Impulsdichte zusammensetzt aus der auf das Volumenelement wirkende Kraftdichte (zum Beispiel der Gradient des Drucks oder das Gewicht, <math>\vec{f}_{\text{Gravitation}}=\rho\, \vec{g}</math>) und dem Impulsstrom in das Gebiet hinein und heraus.

Die [[Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)|Eulerschen Gleichungen]] sind das System von partiellen Differentialgleichungen, das zusammen mit Impulserhaltung und Energieerhaltung die Zeitentwicklung eines kontinuierlichen Systems zulässt. Die [[Navier-Stokes-Gleichungen]] erweitern diese Gleichungen, indem sie zusätzlich Viskosität beschreiben.

Bemerkenswert an der Eulerschen Gleichung ist, dass es für den Impuls eine Erhaltungsgleichung gibt, für die Geschwindigkeit aber nicht. In der klassischen Mechanik spielt das keine besondere Rolle, da es den einfachen skalaren Zusammenhang <math>\vec p = m \vec v</math> gibt. In den relativistischen Eulergleichungen hingegen mischt in jede Vektorkomponente der [[Lorentzfaktor]], der von <math>\vec v^2</math> abhängt. Deswegen ist die Rekonstruktion des Geschwindigkeitsvektors (primitive Variablen) aus dem System von relativistischer Masse, Impuls und Energiedichte (konservierte Variablen) in der Regel mit der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verbunden.

== Impuls in der Quantenmechanik ==
In der [[Quantenmechanik]] spielt der Impuls eine entscheidende Rolle. Für Impuls- und Ortsbestimmung gilt die [[heisenbergsche Unschärferelation]], nach der ein Teilchen nicht zugleich einen genauen Impuls und einen genauen Ort haben kann. Der [[Welle-Teilchen-Dualismus]] erfordert, bei quantenmechanischen Objekten gleichzeitig ihre Wellen- und Teilchennatur in Betracht zu ziehen. Während ein wohldefinierter Ort, aber ein wenig definierter Impuls intuitiv besser zum Teilchenverständnis passt, ist ein wohldefinierter Impuls (der [[Wellenvektor]]) eher eine Eigenschaft der Welle. Die Dualität bildet sich mathematisch darin ab, dass man die kanonische Quantenmechanik entweder im [[Ortsraum]] oder [[Impulsraum]] betreiben kann (auch Ortsdarstellung und Impulsdarstellung genannt). Je nach Darstellung ist der Impulsoperator dann ein gewöhnlicher Messoperator, oder es handelt sich um einen Differentialoperator. In beiden Fällen sorgt die Messung des Impulses dafür, dass er anschließend exakt bestimmt ist; es findet ein [[Kollaps der Wellenfunktion]] statt, der zur totalen Delokalisierung des Objektes führt. Umgangssprachlich wird dies manchmal dadurch ausgedrückt, dass „zu einem physikalischen Zustand eines Teilchens kein bestimmter Impuls gehört“ oder „nur die Wahrscheinlichkeit angegeben werden kann, dass der Impuls eines Teilchens in diesem oder jenem Bereich liegt“. Diese Aussagen sind allerdings durch ein teilchen- bzw. ortszentriertes Denken geprägt und lassen sich ebenso umdrehen: „Zu einem physikalischen Zustand einer Welle gehört kein bestimmter Ort“ oder „es kann nur die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden, dass der Ort einer Welle in diesem oder jenem Bereich liegt“.

Die Zustände mit wohlbestimmtem Impuls heißen [[Eigenzustand|Eigenzustände]] des [[Impulsoperator]]s. Ihre [[Wellenfunktion]]en sind [[ebene Welle]]n mit der [[Wellenlänge]]
: <math>\lambda=\frac{h}{p},</math>
wobei <math>h</math> das [[Plancksches Wirkungsquantum|plancksche Wirkungsquantum]] ist und <math>p</math> der Impuls. Die De-Broglie-Wellenlänge <math>\lambda</math> von [[Materiewelle]]n freier Teilchen ist also durch den Impuls bestimmt.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Dieter Meschede]] |Titel=[[Gerthsen Physik]] |Auflage=24., überarbeitete |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg / Dordrecht / London / New York | Datum=2010 | ISBN=978-3-642-12893-6 | Seiten=19, 25–26 | DOI=10.1007/978-3-642-12894-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Florian Scheck]] |Titel=Theoretische Physik&nbsp;1 |Auflage=8. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-71377-7 |Seiten=7, 8, 10}}
* {{Literatur |Autor=[[Richard Feynman|Feynman]], Leighton, Sands |Titel=[[Feynman-Vorlesungen über Physik|Lectures on Physics]]. Volume 1 |Ort=Reading, Ma. |Datum=1963 |Kapitel=Kap.&nbsp;9-1}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]