Quelltext der Seite Kinetische Energie

Die '''kinetische Energie''' (von griechisch ''kinesis'' = Bewegung) oder auch '''Bewegungsenergie''' oder selten '''Geschwindigkeitsenergie''' ist die [[Energie]], die ein Objekt aufgrund seiner [[Kinematik|Bewegung]] enthält. Sie entspricht der [[Arbeit (Physik)|Arbeit]], die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen.
Sie hängt von der [[Masse (Physik)|Masse]] und der [[Geschwindigkeit]] des bewegten Körpers ab.

Als [[Formelzeichen]] für die kinetische Energie wird häufig <math>T</math> oder <math>E_\mathrm{kin}</math> verwendet. Die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-[[Maßeinheit]] der kinetischen Energie ist das [[Joule]].

Das Konzept der kinetischen Energie als eine Größe, die bei [[elastischer Stoß|elastischen Stößen]] und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als ''[[vis viva]]'' (''„Lebendige Kraft“'') von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] eingeführt, der darin in Streit mit den Anhängern von [[René Descartes]] die korrekte Erhaltungsgröße in der [[Mechanik]] sah (1686). Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie. Der Faktor {{Bruch|2}} in der Formel für die kinetische Energie findet sich schon 1726 bei [[Daniel Bernoulli]].<ref>Szabo, Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhäuser, S.&nbsp;71.</ref> Das eigentliche Energiekonzept bildete sich aber erst im 19. Jahrhundert heraus, insbesondere in der Schule der angewandten Mathematik in Frankreich und mit dem Aufkommen der [[Thermodynamik]]. In der Mechanik des 18. Jahrhunderts, deren Hauptuntersuchungsgegenstand die [[Himmelsmechanik]] war, spielte es noch keine große Rolle.<ref>[[Max Jammer]], Artikel Energie, in Donald Borchert (Hrsg.), Encyclopedia of Philosophy, Thomson Gale 2006.</ref>

== Kinetische Energie in der klassischen Mechanik ==

=== Massenpunkt ===
In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist die kinetische Energie <math>E</math> eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse <math>m</math> und seiner Geschwindigkeit <math>v</math>:
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2</math>

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse <math>m = 1000 \,\mathrm{kg}</math> mit einer Geschwindigkeit von <math>v = 100 \,\mathrm{km} / \mathrm{h}</math>, hat es demzufolge eine kinetische Energie von <math>E = \frac{1}{2} \cdot 1000 \, \mathrm{kg} \cdot \left( 100 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \right) ^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 1000 \,\mathrm{kg} \cdot \left( 27{,}78\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right) ^2 = 385\,800 \,\mathrm J</math> (das [[Joule]], <math>\mathrm{J}</math>, ist die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit der Energie).

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit <math>v</math>, sondern durch seinen [[Impuls]] <math>p</math> beschreibt, wie das u.&nbsp;a. in der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen <math>p = m v</math>):
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{p^2}{2m}</math>

==== Einfache Herleitung ====
Wird ein Körper der Masse <math>m</math> aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit <math>v</math> beschleunigt, so muss man dafür die [[Beschleunigungsarbeit]] <math>W</math> zufügen. Bei konstanter Kraft gilt:
:<math>W = Fs</math>
Die Kraft erteilt dem Körper eine [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßige Beschleunigung]] <math>a</math>, nach der [[Grundgleichung der Mechanik]] ist <math>F=ma</math>. Nach einer Zeit <math>t</math> ist die Geschwindigkeit <math>v=at</math>, und es wurde der Weg <math>s= \tfrac 1 2 a t^2</math> zurückgelegt. Alles oben eingesetzt, ergibt die Beschleunigungsarbeit
:<math>W = m a \cdot \frac 12 a t^2 = \frac 1 2 m v^2</math>.
Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert <math>W</math>. Folglich gilt für einen Körper der Masse <math>m</math> mit der Geschwindigkeit <math>v</math>:
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac 12 m v^2</math>

==== Spezielle Koordinatensysteme ====
In speziellen [[Koordinatensystem]]en hat dieser Ausdruck die Form:
* [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesische Koordinaten]] (''x'', ''y'', ''z''):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)</math>

* Ebene [[Polarkoordinaten]] (<math> r, \varphi </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)</math>

* [[Kugelkoordinaten]] (<math> r, \varphi, \vartheta </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(r^2 \left[\dot \vartheta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\vartheta \right] + \dot r^2 \right)</math>

* [[Zylinderkoordinaten]] (<math> r, \varphi, z </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)</math>

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] nach der Zeit.

=== Starre Körper ===
Die kinetische Energie eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] mit der Gesamtmasse <math>M</math> und der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{s}</math> seines [[Massenmittelpunkt|Schwerpunktes]] ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts ([[Translation (Physik)|Translationsenergie]]) und der [[Rotationsenergie]] aus der Drehung um den Schwerpunkt:
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} J_\mathrm{s} \omega^2</math>
Hier ist <math>J_\mathrm{s}</math> das [[Trägheitsmoment]] des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und <math>\omega</math> die [[Winkelgeschwindigkeit]] der Drehung.

Mit dem [[Trägheitstensor]] <math>I</math> wird dies allgemein geschrieben als:

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol\omega</math>

=== Hydrodynamik ===
In der [[Hydrodynamik]] wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energie''dichte'' angegeben. Diese wird meistens durch ein kleines <math>e</math> oder <math>\epsilon</math> ausgedrückt:

:<math>e_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \rho v^2</math>

Hierbei bezeichnet <math>\rho</math> die [[Dichte]].

== Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik ==
[[Datei:E_Kin.jpg|thumb|400px|Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich]]

In der [[Spezielle Relativitätstheorie|relativistischen Physik]] gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die [[Lichtgeschwindigkeit]]. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie <math>E_\mathrm{kin}</math> die Differenz aus Gesamtenergie und [[Ruheenergie]] ist, folgt:

:<math>E_\mathrm{kin} = \gamma m c^2 - m c^2 = \left(\gamma - 1\right) m c^2</math>
Dabei ist ''c'' die Lichtgeschwindigkeit, ''m'' die Masse und ''γ'' der [[Lorentzfaktor]]
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.</math>

Aus der [[Taylorreihe|Taylor-Entwicklung]] nach <math>v/c</math> erhält man

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \cdots</math>,

also für <math>v \ll c</math> wieder die Newtonsche kinetische Energie.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, <math>\lim_{v \to c}E_\mathrm{kin} = \infty,</math> ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von <math>m = 1\, \mathrm{kg}</math> die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit).

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik.

;Anwendungsbeispiele
{{Hauptartikel|Tests der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung}}
[[Datei:Elektronengeschwindigkeit.png|thumb|Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen eines elektrischen Felds]]
Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung <math>e</math> und der Masse <math>m</math> linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung <math>U</math> zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie <math>E</math> und der Ruheenergie <math>E</math><sub>0</sub>.<ref>A. P. French: ''Die spezielle Relativitätstheorie&nbsp;– M.I.T. Einführungskurs Physik'' 1968, S.&nbsp;19–23.</ref>
Die kinetische Energie <math>eU</math> ist also:
:<math>e \cdot U = E - E_0</math>
Beachtet man, dass für die Gesamtenergie
:<math>E^2 = c^2p^2 + E_0^2\quad (*)</math>
gilt (<math>p</math>: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang
:<math>cp = E \cdot \frac{v}{c}</math>
besteht, folgt für die Gesamtenergie aus <math>(*)</math> also:
:<math>E(v) = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
Berechnet man nun die Differenz aus <math>E(v)</math> und <math>E_0</math>, setzt den Ausdruck gleich <math>e \cdot U</math> und löst nach <math>v</math> auf, erhält man abschließend:
:<math>v = c \cdot \sqrt{1 - {\left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{E_0}}\right)}^2} </math> mit der Ruheenergie eines Elektrons <math> E_0 = 0{,}51\,\mathrm{MeV} </math>
Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1&nbsp;kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10&nbsp;kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1&nbsp;MV 94 %.

Der [[Large Hadron Collider]] führt Protonen eine kinetische Energie von 6,5&nbsp;TeV zu. Diese Energie ist etwa 8 tausend Mal größer als die Ruheenergie eines Protons. Bei einer Kollision zwischen entgegengesetzt beschleunigten Protonen können Teilchen mit einer entsprechend hohen Ruheenergie entstehen.

== Kinetische Energie in der Quantenmechanik ==
In der [[Quantenmechanik]] ist der [[Erwartungswert]] <math>\langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle</math> der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse <math>m</math>, welches durch die [[Wellenfunktion]] <math>\vert\psi\rangle</math> beschrieben wird, gegeben durch
:<math>\langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle = \frac{1}{2 m}\langle\psi |\hat P^2 | \psi \rangle</math>,

wobei <math>\hat P^2</math> das Quadrat des [[Impulsoperator]]s des Teilchens ist.

Im Formalismus der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]] ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte <math>\rho(\mathbf{r})</math> ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für <math>N</math> Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall <math>N=1</math> ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

:<math> E_\mathrm{kin}[\rho] = \int \frac{1}{8}\frac{\nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } \mathrm{d}^3r</math>

geschrieben werden, wobei <math>E_\mathrm{kin}[\rho]</math> das [[Weizsäcker-Funktional]] der kinetischen Energie ist.

== Siehe auch ==
* [[Potentielle Energie]]
* [[Energieerhaltungssatz]]
* [[Schleppkraft]] (Kinetische Energie in der Geographie)

== Literatur ==
* [[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]]: ''Klassische Mechanik.'' In: ''Grundkurs Theoretische Physik.'' Bd.&nbsp;1, 8.&nbsp;Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0.
* [[Richard P. Feynman]]: ''Feynman-Vorlesungen über Physik. Mechanik, Strahlung, Wärme'' 5., verbesserte Auflage, definitive Edition. Oldenbourg, München / Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 (= ''The Feynman Lectures on Physics'', Band 1).
* [[Paul A. Tipler]]: ''Physik.'' 3.&nbsp;korrigierter Nachdruck der 1.&nbsp;Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8.
* [[Ludwig Bergmann (Physiker)|Ludwig Bergmann]], [[Clemens Schaefer (Physiker)|Clemens Schaefer]]: ''Mechanik&nbsp;– Akustik&nbsp;– Wärme.'' In: ''Lehrbuch der Experimentalphysik.'' Bd.&nbsp;1, 12.&nbsp;Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4.
* {{cite book|author=[[Rainer Müller (Physiker)|Rainer Müller]]|title=Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug|url=http://books.google.com/books?id=fqmnCgAAQBAJ|date=25. September 2015|publisher=De Gruyter|isbn=978-3-11-044530-5}}
* {{cite book|author=[[Dieter Meschede]]|title=Gerthsen Physik|url=http://books.google.com/books?id=qW7dBgAAQBAJ|date=27. Februar 2015|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-45977-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Energieform]]