Quelltext der Seite Kugel

{{Dieser Artikel|behandelt die geometrische Kugel. Für weitere Bedeutungen siehe [[Kugel (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|mini|Bild einer Kugel mit [[Längenkreis|Längen-]] und [[Breitenkreis]]en]]
Eine '''Kugel''' ist in der [[Geometrie]] die Kurzbezeichnung für [[Sphäre (Mathematik)|Kugelfläche]] oder Kugelkörper.

== Kugelfläche und Kugelkörper ==
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer [[Kreis (Geometrie)|Kreislinie]] um einen Kreisdurchmesser entstehende [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Sie ist eine [[Rotationsfläche]] sowie eine spezielle [[Fläche zweiter Ordnung]] und wird beschrieben als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] (der geometrische Ort) aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen [[Positive Zahl|positiven]] [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\!\ r</math> ist. Der feste Punkt wird als [[Mittelpunkt]] oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl <math>\!\ r</math> als [[Radius]] der Kugel.

Die ''Kugelfläche'' teilt den Raum in zwei getrennte offene [[Untermenge]]n, von denen genau eine [[Konvexe Menge|konvex]] ist. Diese Menge heißt das ''Innere'' der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt ''Kugelkörper'' oder ''Vollkugel''. Die Kugelfläche wird auch ''Kugeloberfläche'' oder [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (<math>\!\ x_0</math>, <math>\!\ y_0</math>, <math>\!\ z_0</math>) und Radius <math>\!\ r</math> ist die Menge aller Punkte (<math>\!\ x</math>, <math>\!\ y</math>, <math>\!\ z</math>), für die

: <math>\!\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2</math>

erfüllt ist.

[[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|mini|Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

In [[Vektor]]schreibweise mit <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{m} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}</math>:

: <math> (\vec x - \vec m ) \cdot (\vec x - \vec m ) = r^2 </math>,
: <math> (\vec x - \vec m )^2 = r^2 </math>,
: <math> |\vec x - \vec m |^2 = r^2 </math> oder
: <math> |\vec x - \vec m | = r </math>.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius <math>\!\ r</math> und dem Zentrum im Ursprung können durch [[Kugelkoordinaten]] wie folgt parametrisiert werden:

: <math>x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi</math>
: <math>y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi </math>
: <math>z = r \cdot \cos \theta </math>
mit <math>0 \le \theta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi < 2 \pi</math>.

== Kugelschnitte ==
* Bringt man eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit einer Kugel zum [[Schnittmenge|Schnitt]], entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie ''[[Großkreis]]'', andernfalls ''[[Kleinkreis]]''.
* Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen ''[[Kugelabschnitt]]'' oder ''Kugelsegment'', im Falle des Großkreises ''Halbkugel (Hemisphäre)''.
* Der [[Krümmung|gekrümmte]] Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird ''Kugelkappe'', ''Kugelhaube'' oder ''[[Kugelkalotte]]'' genannt.
* Ein Kugelsegment und der [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen ''[[Kugelausschnitt]]'' oder ''Kugelsektor''.
* Zwei [[Parallel (Geometrie)|parallele]], die Kugel schneidende (nicht [[Berührung (Mathematik)|berührende]]) Ebenen schneiden aus der Kugel eine ''[[Kugelschicht]]'' heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als ''Kugelzone''.
* Zwei sich schneidende Ebenen, deren [[Schnittgerade]] teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das ''[[Kugelzweieck]]'' ist.
* Eine ''[[Kugelschale]]'' (''Hohlkugel'') ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

== Kurven auf einer Kugel ==
[[Datei:Ellipso-eb-ku.svg|hochkant=1.2|mini|Ebener Schnitt einer Kugel]]
[[Datei:Kugel-zylinder-kk.svg|mini|hochkant=0.8|Schnitt Kugel – Zylinder: 2 Kreise]]
=== Kreise ===
* Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein Kreis, ein Punkt oder leer.
Ist der Schnitt ein Kreis, so lässt er sich in Parameterform <math>\;\vec x =(\vec e_0+\vec e_1 \cos t +\vec e_2 \sin t)^T \;</math> darstellen: s. [[Ellipsoid#Ebene Schnitte|Ebene Schnitt eines Ellipsoids]].

Allerdings kann eine Kugel auch kompliziertere Flächen in einem Kreis schneiden:
* Ein nicht leerer Schnitt einer Kugel mit einer [[Rotationsfläche]], deren Achse durch den Mittelpunkt der Kugel geht, besteht aus Kreisen und/oder Punkten.
Im Bild schneidet eine Kugel einen Zylinder in zwei Kreisen. Wäre der Radius des Zylinders gleich dem Kugelradius, bestünde der Schnitt aus einem Berührkreis. Ein Rotations-Ellipsoid mit demselben Mittelpunkt wie die Kugel und dem Kugelradius als großer Halbachse würde die Kugel in zwei Punkten (Scheiteln) berühren.

Diese Eigenschaft wird in der [[Darstellende Geometrie|darstellenden Geometrie]] zur Konstruktion von Punkten der Schnittkurve von Rotationsflächen verwendet (siehe [[Hilfskugelverfahren]].)

[[Datei:Kugel-spirale-1-2.svg|mini|hochkant=1.1|Kugelspirale mit <math>c=8</math>]]

=== Clelia-Kurven ===
Ist die Kugel in Parameterform
:<math>\vec x=(r\cos \theta \cos\varphi, r\cos\theta \sin\varphi, r\sin\theta)^T</math>
gegeben, so erhält man [[Clelia-Kurve]]n, wenn man
* <math>\varphi=c\;\theta \;, \ c>0\;,</math>
setzt. Spezialfälle davon sind: [[vivianische Kurve]]n (<math> c=1</math>) und [[Kugelspirale]]n (<math>c>2</math>).
[[Datei:Loxodrome.png|mini|hochkant=0.7|Loxodrome]]
=== Loxodrome ===
Die Kurve auf der Erdkugel, die die Meridiane (Längskreise) immer unter demgleichen Winkel schneidet ist eine [[Loxodrome]]. Sie schlingt sich spiralartig um die Pole, die ihre beiden asymptotischen Punkte sind, d.&nbsp;h. sie enthält nicht die Pole. Sie ist keine Kugelspirale im obigen Sinne. Es besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen den Winkeln <math>\varphi</math> und <math>\theta</math>.

=== Schnitte mit anderen Quadriken ===
[[Datei:Is-spherecyl5-s.svg|mini|hochkant=0.8|Schnittkurve Kugel-Zylinder]]
Wird eine Kugel von einer anderen Quadrik (Zylinder, Kegel …) geschnitten, so entstehen bei geeigneten Radien, Parameter … Schnittkurven.

''' Beispiel: Kugel – Zylinder'''

Die Schnittkurve der Kugel mit der Gleichung <math>\; x^2+y^2+z^2=r^2\;</math> und dem Zylinder mit der Gleichung <math> \;(y-y_0)^2+z^2=a^2\;</math> besteht aus den Lösungen des nicht linearen Gleichungssystems
:<math>x^2+y^2+z^2-r^2=0</math>
:<math>(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .</math>
(s. [[implizite Kurve]], Bild)

== Formeln ==
{{Siehe auch|Formelsammlung Geometrie}}

{| class="wikitable centered"
|----
|+ Formeln zur Kugel
|----
! Geometrische Größe || Formel
|----
|style="text-align:left" | Kugelradius
| <math>\!\ r</math>
|----
|style="text-align:left" | Kugel[[durchmesser]]
| <math>\!\ d =2 r</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] (Großkreis)
| <math>U =2 \pi r = \pi d\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | {{Anker|Kugelvolumen}}[[Volumen]]
| <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 = \int_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\pi \mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Oberflächeninhalt|Oberfläche]]
| <math>A_O = 4 \pi r^2 = \pi d^2\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | Projektionsfläche/Kugelquerschnitt
| <math>A_\mathrm{PF} = \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr</math>
|----
|style="text-align:left" | Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,
nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)
| <math>\!\ h</math>
|----
|style="text-align:left" | Volumen einer [[Kugelkalotte]]
| <math>V_\mathrm{KK} = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)</math>
|----
|style="text-align:left" | Flächeninhalt einer Kugelkalotte
| <math>A_\mathrm{KK} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)</math>
|----
|style="text-align:left" | Mantelfläche einer [[Kugelschicht]]
| <math>A_\mathrm{KS} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \int_\alpha^\beta \sin x\,\mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{3} mr^2</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{5} mr^2</math>
|----
|}

=== Volumen ===
Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

==== Kegelherleitung (archimedische Herleitung) ====
[[Datei:KugelCavalieri.png|mini|hochkant=1.5|Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri]]
Nach einer Überlegung des griechischen [[Liste von Mathematikern|Mathematikers]] [[Archimedes]] gibt es zu einer Halbkugel mit Radius <math>\!\ r</math> einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius <math>\!\ r</math> und Höhe <math>\!\ r</math> einen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius <math>\!\ r</math> und Höhe <math>\!\ r</math> entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das [[Prinzip von Cavalieri]] heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der [[Integralrechnung]].) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]], die zur jeweiligen Grundfläche [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind und von dieser einen vorgegebenen [[Abstand]] <math>\!\ h</math> haben.

Im Falle der Halbkugel ist die [[Schnittfläche]] eine Kreisfläche. Der Radius <math>\!\ s</math> dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem [[Satz des Pythagoras]]:

: <math>s^2 + h^2 \, = \, r^2</math>.

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

: <math>A_1 \, = \, \pi s^2 = \pi (r^2 - h^2) = \pi r^2 - \pi h^2</math>.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius <math>\!\ r</math> und Innenradius <math>\!\ h</math>. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

: <math>A_2 \, = \, \pi r^2 - \pi h^2</math>.

Für einen beliebigen Abstand <math>\!\ h</math> zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im [[Flächeninhalt]] überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man [[Subtraktion|subtrahiert]] vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

: <math>V_\text{Zylinder} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3</math>
: <math>V_\text{Kegel} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi r^3</math>
: <math>V_\text{Halbkugel} = V_\text{Vergleichskörper} \, = \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3</math>

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

: <math>V_\text{Kugel} \, = \, 2 \cdot V_\text{Halbkugel} = \frac{4}{3} \pi r^3</math>.

==== Alternative Herleitung ====
Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe <math>\!\ r</math> zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden:
<math>V=\frac{O\,r}{3} = \frac{(4 \pi r^2)r}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3</math>.

==== Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung ====
Radius im Abstand <math>\!\ x</math>:

: <math>s = \sqrt{r^2 - x^2}</math>.

Kreisfläche im Abstand <math>\!\ x</math>:

: <math>\!\ A_x = \pi s^2</math>.

Volumen der Kugel <math>\!\ V</math>:

: <math>V = \int_{- r}^r {A_x \,\mathrm dx} = \int_{- r}^r {\pi s^2 \,\mathrm dx} = \int_{-r}^r {\left( {r^2 - x^2 } \right)} \pi \,\mathrm dx = \int_{-r}^r \pi {r^2} \,\mathrm dx - \int_{-r}^r \pi {x^2 } \,\mathrm dx</math>
: <math>V = \pi r^2 \left[ x \right]_{-r}^r - \frac{1}{3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{-r}^r</math>
: <math>V = \pi r^2 \left[ r - (-r)\right] - \frac{1}{3}\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3</math>.

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments <math>\!\ V_\mathrm{KS}</math> der Höhe <math>\!\ h</math> berechnen:

: <math>V_\mathrm{KS} = \int_{r - h}^r {A_x \,\mathrm{d}x} = \pi r^2 \left[x \right]_{r - h}^r - \frac{1}{3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{r - h}^r</math>
: <math>V_\mathrm{KS} = \pi r^2 \left[r - (r - h) \right] - \frac{1}{3}\pi \left[r^3 - (r - h)^3 \right] = \pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]</math>
: <math>V_\mathrm{KS} = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - \frac{1}{3}\pi h^3 = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)</math>.

==== Weitere Herleitungen ====
Eine Kugel mit Radius <math>R</math>, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung

: <math>K: ~ x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2</math>

beschreiben, wobei <math>x,\ y,\ z</math> die Raumkoordinaten sind.

''Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:''

Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch

: <math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end{pmatrix} \qquad (0 \le r \le R,\ 0 \leq \vartheta \leq \pi ,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi)</math>.

Mit der [[Funktionaldeterminante]]

: <math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vartheta,\varphi)} = r^2 \sin\vartheta</math>

ergibt sich das benötigte Volumenelement <math>\!\ \mathrm{d}V</math> als

: <math>\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta\;\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta</math>.

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

: <math>\begin{align}
\int_K\mathrm dV &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \sin \vartheta\; \mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta\\
&= \int_0^R r^2 \mathrm dr \int_0^{2\pi} \mathrm d\varphi \int_0^\pi \sin \vartheta\;\mathrm d\vartheta\\
&= \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2\\
&= \frac{4}{3}\pi R^3.\\
\end{align}</math>

''Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:''

: <math>\begin{align}
\int_K \!\mathrm dV &= \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}\left(\int\limits_{-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\mathrm dz\right)\mathrm dy\,\mathrm dx\\
&= \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\mathrm dy\,\mathrm dx.
\end{align}</math>

Nun wird das [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinatensystem]] in das [[Polarkoordinaten]]system transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen <math>\!\varphi</math> und <math>\! r</math> fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch <math>\! x</math> und <math>\! y</math>. Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das [[Differential (Mathematik)|Differential]] bedeutet das: <math>\mathrm dy \,\mathrm dx\;\xrightarrow{\text{wird zu}}\;r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi</math> (Stichwort: [[Polarkoordinaten#Flächenelement|Flächenelement]])

: <math>\begin{align}
\int_K \!\mathrm dV &= \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2} \;r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\\
&= 2\pi\int\limits_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2}\;r\,\mathrm dr\\
&= 2\pi (-1) \frac{2}{3} \left[\sqrt{(R^2 - r^2)^3}\right]_{r = 0}^R\\
&= \frac{4}{3}\pi R^3.
\end{align}</math>

''Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper''

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für [[Rotationskörper]], die um die x-Achse rotieren, ergibt

: <math> V = \pi \int_ {a}^b [f(x)]^2\mathrm{d}x = \pi \int_ {a}^b y^2\,\mathrm{d}x</math>.

Die Gleichung für den Kreis ist

: <math> (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 \,=\, r^2</math>

mit Mittelpunkt

: <math> M=\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

: <math> x^2 + y^2 = r^2 \Leftrightarrow y^2 = r^2 - x^2</math>.

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

: <math>\begin{align}
V_\text{Kugel} &= \pi \int_{-r}^r \left( r^2 - x^2\right)\,\mathrm{d}x\\
&= \pi \left[r^2x - \frac{1}{3} x^3\right]_{-r}^r\\
&= \pi \left(r^3 - \frac{1}{3} r^3\right) - \pi \left(r^2\cdot(-r) - \frac{1}{3}(-r)^3\right)\\
&= \pi \left[\left(\frac{2}{3} r^3\right)-\left(-\frac{2}{3}r^3\right)\right]\\
&= \frac{4}{3}\pi r^3.\\
\end{align}</math>

=== Oberfläche ===
Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert <math>\!\ r</math> hat.
Sie ist eine [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit]].

Ihr Flächeninhalt ist <math>{A} \, = {4} \pi {r^2}</math> und damit gleich groß wie der der [[Mantelfläche]] des [[Zylinder (Geometrie)|Kreiszylinders]], der die Kugel umhüllt.

Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

==== Begründung ====
[[Datei:tangenteankugel.png|mini|hochkant=1.5|Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse]]
[[Datei:kugelansicht.png|mini|hochkant=1.5|Kugelansicht]]

Teilt man eine Kugel auf in:

* Schichten mit einer Höhe von jeweils <math>\!\ d</math> und
* „[[Längenkreis|Meridiane]]“, die am Äquator ebenfalls den Abstand <math>\!\ d</math> zueinander haben

und lässt man <math>\!\ d</math> nach <math>\!\ 0</math> streben,

* so ist die Länge <math>\!\ c</math> jedes Feldes [[Reziproke Proportionalität|umgekehrt proportional]] zu <math>\!\ x</math> – also zu seinem Abstand von der Mittelachse.
: Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich: <math>\!\ x</math> ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“ <math>\!\ r</math> und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]]. Demnach gilt:
:: <math>c = \frac{r}{x}\ {d}</math>.
* Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu <math>\!\ x</math>.
: Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, "Ansicht von oben".

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d.&nbsp;h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt am Äquator beträgt <math>\!\ {d}^{2}</math> (<math>\!\ cd</math> wobei <math>\!\ c</math> gegen <math>\!\ d</math> strebt, da <math> \frac{r}{x}\ </math> am Äquator schneller gegen <math>\!\ 1</math> strebt als <math>\!\ d</math> gegen <math>\!\ 0</math>).

Da alle Felder also den Inhalt <math>\!\ {d}^{2}</math> haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) <math>\frac{\text{Umfang}}{{d}} \cdot \frac{\text{Durchmesser}}{{d}} = \frac{2 \pi r \cdot 2 r}{d^2}</math> Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: <math>{A} \, = {4} \pi {r^2}</math>.

==== Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens ====
Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, [[Infinitesimalrechnung|infinitesimalen]] (unendlich kleinen) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius <math>\!\ r</math>. Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel <math>V_P = \tfrac{1}{3}G h</math> gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

: <math>V = \frac{1}{3}O r</math> (O = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen <math>V = \tfrac{4}{3} \pi r^3</math> ergibt sich:

: <math>\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3}O r</math>
: <math>\!\ O = 4 \pi r^2</math>

==== Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung ====
Da das Kugelvolumen mit

: <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

: <math>A_O = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} = 4 \pi r^2</math>

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

==== Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung ====
Aus der ersten [[Rotationskörper|Guldin’schen Regel]]

: <math>O = 2 \pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, \mathrm{d}x</math>

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

: <math>\begin{align}
O &= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right)^2} \, \mathrm{d}x\\
&= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}} \, \mathrm{d}x \\
&= 2 \pi \int\limits_{-r}^r r \, \mathrm{d}x \\
&= 2 \pi r \int\limits_{-r}^r 1 \, \mathrm{d}x \\
&= 4 \pi r^2
\end{align}</math>

==== Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten ====
Für das Flächenelement auf Flächen <math>r</math> = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

:<math>\mathrm{d}A=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi </math>.

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

: <math>\begin{align}
O &= \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}A\\
&= \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi \\
&= 2 \pi r^2 \int\limits_{0}^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \\
&= 4 \pi r^2
\end{align}</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:01-Volumenvergleich Kugel - Zylinder.svg|mini|hochkant=1.1|Das Verhältnis des Volumens einer Kugel (<math>V_K</math>) mit Radius <math>r</math> zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (<math>V_Z</math>) ist<br /> <math>V_K : V_Z = \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2} \;</math> <math>\Rightarrow V_K : V_Z = 2 : 3</math>]]
* Die Kugel besitzt unendlich viele [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrieebenen]], nämlich die [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] bezüglich ihres Mittelpunktes.

* Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel [[Kartennetzentwurf]].
* In der [[Differentialgeometrie]] hat eine Kugel mit Radius <math>r</math> an jedem Punkt der Oberfläche die [[gaußsche Krümmung]] <math>\tfrac{1}{r^2}</math>. Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene (Krümmung 0) abgebildet werden kann.
* Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel ([[Geodäte]]) liegt auf einem [[Großkreis]], also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.
* Durch die [[stereografische Projektion]] kann die Kugel – bis auf den „Nordpol“ – [[Bijektive Funktion|bijektiv]] auf die Ebene abgebildet werden. Dadurch kann z.&nbsp;B. der [[Vier-Farben-Satz]] auf die Kugel übertragen werden. Durch die umgekehrte Abbildung kann die Ebene bijektiv auf die Kugeloberfläche ohne „Nordpol“ abgebildet werden, der „Nordpol“ steht dann für den [[Fernelement|„unendlich fernen Punkt“]]. In der [[Funktionentheorie]] wird auf diese Art die [[komplexe Zahlenebene]] auf die Kugel übertragen ([[riemannsche Zahlenkugel]]), sie ist damit eine [[Kompakter Raum|kompakte]] [[riemannsche Fläche]] vom [[Topologisches Geschlecht|Geschlecht]] 0.
* Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe [[Seifenblase]]) und [[Wassertropfen]] sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der [[Gravitation]]), weil die [[Oberflächenspannung]] versucht, die Oberfläche zu minimieren. [[Planet]]en sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations[[bindungsenergie]] ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

* Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius <math>r</math> zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius <math>r</math>, Höhe <math>h</math> = <math>2r</math>, siehe Bild) ist <math>2 : 3</math>. [[Satz des Archimedes über Kugel und Kreiszylinder|Das]], sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen [[Archimedes]] in der Antike bekannt.

* Eine Kugel kann auch als [[Rotationskörper]] aufgefasst werden: Lässt man eine [[Kreis (Geometrie)|Halbkreisfläche]] um ihren [[Durchmesser]] [[Rotationsbewegung|rotieren]], so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine [[Ellipse]] ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein [[Rotationsellipsoid]] (auch [[Sphäroid]] genannt).

* Die Kugel [[Rollen|rollt]] auf einer [[Schiefe Ebene|schiefen Ebene]] selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere [[Kraft]]einwirkung in ''allen'' Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in [[Wälzlager|Rillenkugellagern]].

== Verallgemeinerung ==
=== Höherdimensionale euklidische Räume ===
Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> eine <math>n</math>''‑dimensionale Kugel'' definiert als Menge aller Punkte des <math>n</math>‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl <math>r</math> (dem Radius) ist. Den [[Rand (Topologie)|Rand]] der <math>n</math>‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich <math>r</math> ist, bezeichnet man als ''<math>(n-1)</math>‑dimensionale Sphäre'' oder kurz ''<math>(n-1)</math>‑Sphäre''. Wenn man ohne weitere Angaben von ''der <math>n</math>‑dimensionalen Kugel'' spricht, meint man meist die <math>n</math>‑dimensionale [[Einheitskugel]]; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich&nbsp;1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von <math>n</math>‑Sphären, wenn sie <math>(n-1)</math>‑dimensionale Sphären im <math>n</math>‑dimensionalen Raum meinen.

Das <math>n</math>-dimensionale Volumen einer <math>n</math>-dimensionalen Kugel mit dem Radius <math>r</math> ist

: <math>V_n=r^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}</math>.
Hier ist <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]], eine kontinuierliche Erweiterung der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]].
Den <math>(n-1)</math>‑dimensionalen Inhalt der <math>(n-1)</math>‑dimensionalen Oberfläche, also der <math>(n-1)</math>‑Sphäre erhält man durch [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Volumens nach dem Radius:

: <math>O_n=n r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} = 2 r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>.

[[Datei:N-dimensionale einheitskugel surf-vol.svg|mini|Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in <math>n</math> Dimensionen]]

Für eine Einheitskugel in <math>n</math> Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:
{| class="wikitable"
|-
! Dimensionen || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || … || 2n || 2n+1
|-
! Volumen
| 2 || <math>\pi</math> || <math>\frac{4 \pi}3</math> || <math>\frac{\pi^2}2</math> || <math>\frac{8 \pi^2}{15}</math> || <math>\frac{\pi^3}6</math> || <math>\frac{16 \pi^3}{105}</math> || <math>\frac{\pi^4}{24}</math> || <math>\frac{32 \pi^4}{945}</math> || <math>\frac{\pi^5}{120}</math> || … || <math>\frac{\pi^n}{n!}</math> || <math>\frac{2^{n+1}\pi^n}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}</math>
|-
! Oberfläche
| 2 || <math>2 \pi</math> || <math>4 \pi</math> || <math>2 \pi^2</math> || <math>\frac{8 \pi^2}{3}</math> || <math>\pi^3</math> || <math>\frac{16 \pi^3}{15}</math> || <math>\frac{\pi^4}3</math> || <math>\frac{32 \pi^4}{105}</math> || <math>\frac{\pi^5}{12}</math> || … || <math>\frac{2 \pi^n}{(n-1)!}</math> || <math>\frac{2^{n+1}\pi^n}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}</math>
|}

Eine <math>n</math>-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten <math>n</math>-[[Mannigfaltigkeit]].

=== Metrische Räume ===
Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die [[Metrischer Raum|metrischen Räume]].

Ist <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum, <math>a \in X</math> und <math>r \in \R</math>, <math>r > 0</math>, so nennt man
:<math>B(a,r) = \{ x \in X \mid d(a,x) < r\}</math>
die ''offene Kugel'' mit Mittelpunkt <math>a</math> und Radius <math>r</math>.<ref>Boto von Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9.</ref>
Die Menge:
:<math>\overline B(a,r) = \{ x \in X \mid d(a,x) \le r\}</math>
heißt ''abgeschlossene Kugel''.

Manche Autoren schreiben auch <math>U(a,r)</math> für die offenen und <math>B(a,r)</math> für die abgeschlossenen Kugeln.<ref>[[Herbert Federer]]: ''Geometric Measure Theory.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.</ref> Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind <math>B_r(a)</math> und <math>U_r(a)</math>.

== Symbolik ==
Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form“. Erst seit dem Aufkommen der [[Drechseln|Drechseltechniken]] war sie – zumindest aus Holz oder weichem Stein – nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der [[Unendlichkeit]] (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden [[Kanonenkugel|Kanonen-]] und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht (siehe auch: [[Kugel (Heraldik)]]).

== Siehe auch ==
* [[Großkreis]]
* [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]
* [[Sphärische Geometrie]] • [[Sphärische Trigonometrie]]
* [[Kugelzweieck]] • [[Kugeldreieck]]
* [[Kugelsegment]] • [[Kugelausschnitt]] • [[Kugelschicht]]
* [[Kugel (Darstellende Geometrie)]]
* [[Einheitskugel]]

== Literatur ==
* Yann Rocher (hrsg.), ''Globes. Architecture et sciences explorent le monde'', Norma/Cité de l'architecture, Paris, 2017.
* {{Literatur
   |Autor=Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein
   |Titel=Schnittpunkt 10. Mathematik
   |Verlag=Ernst Klett Verlag
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1997
   |ISBN=3-12-741050-6}}
* Fischer/Kaul, ''Mathematik für Physiker'', Springer, 4. Auflage, ISBN 978-3-662-53968-2

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Spheres|Kugel}}
{{Wikiquote}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/kugel.htm Alles zum Thema ''Kugel'']
* [http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Java-Applet zum Kugelvolumen] (erfordert Installation von Java 1.4)
* [https://www.youtube.com/watch?v=XNaTlyl3tNo Herleitung der Volumenformel für Kugeln mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4165914-4}}

[[Kategorie:3-Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Sphärische Astronomie]]