Quelltext der Seite Quaternion

{{Dieser Artikel|behandelt den Zahlbereich der Mathematik. Zu weiteren Bedeutungen siehe [[Quaternion (Begriffsklärung)]].}}
{{Zeichen|ℍ}}

Die '''Quaternionen''' (''Singular:'' die Quaternion, von [[Latein|lat.]] ''quaternio, -ionis [[Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|f.]]'' „Vierheit“) sind ein Zahlbereich, der den Zahlbereich der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir [[William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur | Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] | Titel=Lineare Algebra | Auflage=7 | Verlag=[[Vieweg+Teubner Verlag]] | Ort=Wiesbaden | Jahr=2010 | ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes'' [[Carl Friedrich Gauß]] Werke, Achter Band, Seiten 357–361, König. Gesell. Wissen. Göttingen, 1900, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus. (Zitiert nach [[#Lam|Lam]] Seite 25).</ref> Trotzdem wird die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen [[Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen
: <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math>
ist.
Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[Distributivgesetz]] sowie [[Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>.

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik.<ref>[[#Lam|Lam]] Seite 1</ref>

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{ cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title= The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis|journal= Mathematical Geology|month=11 |year=2004 |volume=8 |issue= |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[Vier-Quadrate-Satz]]es.

== Konstruktion ==
Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch: ein [[Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form
: <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math>
mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition ist komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln''
{{Anker|Hamilton-Regeln}}
: <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math>
verknüpft. Die [[Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden.

Die so definierte Multiplikation ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[Distributivgesetz]]e<ref>die wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation nicht automatisch auf eines reduziert werden können.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings ''nicht'' [[Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h. für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>.

Die Quaternionen bilden einen [[Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit
: <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;.
Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden.

Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige.

== Schreibweise ==
Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:

Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet
: <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math>
Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, so dass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf genauso als Spaltenvektor eingesetzt.</ref>

Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten.

In mancher älteren Literatur wurden Quaternionen mit großen [[Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so:
:<math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math>
mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>&nbsp;.

Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi, \eta</math>.

== Grundrechenarten ==
Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern deren drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden.

Die [[Linearkombination]]en
: <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math>
über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\mathbb R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise wie in jedem Vektorraum.

Vom Vektorraum wird auch die [[Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge
: <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math>
geschieht nach den Hamilton-Regeln
{|
|-
| style="width: 25em;" |
* <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math>
||<math>(1)</math>
|-
|
* <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math>
||<math>(2)</math>
|-
|
* <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math>
||<math>(\bar 2)</math>.
|}
Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[Quaternionengruppe]].

Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel
{|
|-
| style="width: 25em;" |
* <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math>
||<math>(3)</math>.
|}
Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>,
<math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden.

Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, dem [[Assoziativgesetz]] und (linkem wie rechtem) [[Distributivgesetz]] lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[Kommutativgesetz|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.

Die ausgearbeiteten Formeln für die 2 Verknüpfungen von zwei Quaternionen
: <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math>
lauten
{|
|-
|
* <math>x+y</math> 
|| <math>=(x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k</math> || || style="text-align: right;" | (Addition)
|-
|
* <math>x \; y</math>
|| <math>= ( x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) </math>
|-
| || <math>{} +( x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{OliveGreen} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i</math>
|-
| || <math>{} +( x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{OliveGreen} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j</math>
|-
| || <math>{} +( x_0 y_3 {\color{OliveGreen} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k</math> || || style="text-align: right;" | (Multiplikation)<ref>In Gauß' Text aus dem Jahr 1819 a. a. O. sind die Vorzeichen zwischen rot und grün vertauscht, was der Kurzform <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=+1</math> und einer gespiegelten [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math>, d.&nbsp;h. der Multiplikation <math> x \circ y := y x </math> im [[Gegenring]] <math>\mathbb H^{op}</math> entspricht. Die [[Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein Antiisomorphismus und die [[#QKonjugation|Konjugation]] ein [[Isomorphismus]] <math>\mathbb H := (\R^4,+,) \;\; \to \;\; \mathbb H^{op} := (\R^4,+,\circ) </math>.<br />
Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb H</math> und <math>\mathbb H^{op}</math>. Da beide Ringe die [[Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, müssen diese „unvollständig“ sein im Sinne [[#Hölder|Hölders]].
</ref>
|}
Hiermit sind die für einen Ring erforderlichen 2 Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.

Das additive [[Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar –1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen.

Die für einen [[Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h. es gilt beispielsweise
: <math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k,</math>
aber
: <math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k.</math>
Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt
: <math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k.</math>
Die [[binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref>

== Grundlegende Begriffe ==

=== {{Anker|Realteil}}Skalarteil und {{Anker|Vektorteil}}Vektorteil ===

Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion
: <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math>
bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' oder ''Skalarteil''
: <math>\operatorname{Re}\,x := x_0</math>&nbsp;,
während die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil''
: <math>\operatorname{Im}\,x := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math>
bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>.

=== {{Anker|QKonjugation}}Konjugation ===
Zu jeder Quaternion
: <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math>
ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als
: <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;.
Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen
: <math>x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x </math>
und
: <math>\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x </math>&nbsp;,
aus denen sich unmittelbar
: <math>\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})</math>
und
: <math>\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})</math>
ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen
: <math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math>
mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, so dass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt:
: <math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math>
</ref>

Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h. der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h. der Skalarteil ist null.

Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind:
{|
|-
||
* <math>\overline{(\bar x)}=x</math>
||
Die Konjugation ist eine [[Involution (Mathematik)|Involution]].
|-
||
* <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /><math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math>
||Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[Lineare Abbildung|linear]].
|-
||
* <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math>
||
Die Konjugation ist ein [[Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]].
|-
||
* <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; 
||
Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>und damit auch Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt dies nicht (s.&nbsp;a. [[Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref>
|}

=== Skalarprodukt ===
Das [[Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch
: <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;.
Es gilt
: <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;.
Es ist eine [[Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[#Norm|Norm]] und [[#Konjugation und Betrag|Betrag]] definieren lassen und mit der [[Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können.

Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren:
: <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;.

Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist.

Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention:
* Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert.
* Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert.

=== Kreuzprodukt ===
Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist
: <math>\begin{align}
    x \times y & := \vec x\times\vec y \\
               & \;= \tfrac12(x y-y x) \\
               & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; .
  \end{align}</math>

=== Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt ===
Identifiziert man Quaternionen
{|
|-
| style="width: 25em;" |
: <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math>
| style="width: 5em;" |und
| style="width: 25em;" |
<math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math>
|}
mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math>
{|
|-
| style="width: 25em;" |
: <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math>
| style="width: 5em;" |bzw.
| style="width: 25em;" |
<math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;,
|}
so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[Skalarprodukt]]s und [[Kreuzprodukt]]s beschreiben:
: <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;.

{{Anker|vertauschbar}}
Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]).

=== {{Anker|Norm}}Norm und Betrag ===
Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt:
: <math>\operatorname{Norm}(x) := x \cdot x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;.<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref>
Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ.

{{Anker|Betrag}}
Die [[Quadratwurzel]] hieraus
: <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math>
wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft
: <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;,
die ''Multiplikativität des Betrags''.
Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[Banachalgebra]].

=== Inverses und Division ===
Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen
{|
|-
| style="width: 10em;" |
: <math>x b=a</math>
| style="width: 5em;" |und
| style="width: 10em;" |
<math>b y=a</math>
|}
unterscheiden. Wenn das [[Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind
{|
|-
| style="width: 10em;" |
: <math>x=a b^{-1}</math>
| style="width: 5em;" |bzw.
| style="width: 10em;" |
<math>y=b^{-1} a</math>
|}
respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig.

Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel
: <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>,
denn
: <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;.

Für
: <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math>
ist die Norm
: <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math>
reell und positiv. Die Quaternion
: <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math>
erfüllt dann die Bedingungen des Rechts-
: <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math>
und des Links-Inversen
: <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math>
und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden.

=== Reine Quaternion ===
Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert.

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent: deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an:
: <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;.

=== Einheitsquaternion ===
Eine ''Einheitsquaternion'' (auch: ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen)
: <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>.
Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist
: <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math>
eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[Signumfunktion|Signum]] oder den [[Versor]] von <math>x</math> bezeichnet.

Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe.

Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[#reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>.

Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus.

=== Reine Einheitsquaternion ===
Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben:
: <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[Nullstelle]]n des [[Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref>

Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus.

=== Einbettung der komplexen Zahlen ===
Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen
:<math>
  \begin{array}{rccc}
  \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\
         & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon
  \end{array}
</math>
mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>.

Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref>[[#Conway|Conway a. a. O.]], Seite 40. Und: Ein [[#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von <math>\R</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebren]] ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref>
Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt.

Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt.

So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen.

== Polardarstellung ==
Jede [[#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form
: <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>
::mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[#Lam|Lam a. a. O.]] Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[komplexe Zahl#Polarform|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, so dass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math>
::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math>
::und der ''reinen'' Einheitsquaternion
::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math>
dargestellt werden.

Mit der [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich dies wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als
: <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math>
mit der [[#reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion
: <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>.
Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[Stetigkeit#Stetige Ergänzbarkeit|stetig ergänzen]].
Damit ist die [[Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[surjektiv]].
Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele.
Gleichwohl ist die [[Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[Bijektivität|bijektiv]].
Sie ist [[Stetigkeit|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist
: <math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math>
: <math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>.

{{Anker|reine_und_normierte}}
Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form
: <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math>
::mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math>
::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math>
::und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'')
::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math>
schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, so dass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt.

Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als
: <math>x=|x|\exp x^\prime</math>
mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>.

Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen
: <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math>
(mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[Funktionalgleichung]]
: <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math>
müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren<ref name="exp-nicht-homomorph" />.<ref>Laut [[#Lam|Lam a. a. O.]] Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref>

== Funktionentheorie ==
=== Exponentialfunktion, Logarithmus ===
Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist:
: <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right)</math>
mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;.

Der (natürliche) Logarithmus einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist:
: <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right)</math>&nbsp;.<ref>[http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf Lce.hut.fi] (PDF; 68&nbsp;kB)</ref>

Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[Umkehrfunktion]]en voneinander
: <math>\exp (\ln(x)) = x</math>
und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>,
: <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;.
Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[Funktionalgleichung]]en
: <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math>
und
: <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;,
letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil.

=== Fortsetzungen komplexer Funktionen ===
[[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|455px|mini|Im [[Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]]
Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, so dass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann.

Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br>
'''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist.<ref name="englQuatAn">[[:en:Quaternion variable]] (englisch).</ref>

{| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;"
|style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp;
|-
|
Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br>
Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als
:<math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math>
und
:<math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math>
vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung
:<math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math>
so dass sich
:<math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math>
ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt.

Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und
: <math>\begin{array}{llll}
\tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\
&= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon .
\end{array}</math>
Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>.
Der Funktionswert
: <math>\begin{array}{llll}
\tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\
&= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\
&&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon
\end{array}</math>
muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■
|}
Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten.

Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q .</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H}, </math> nicht zusammenpasst.</ref>

=== Analysis ===
Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder Integralrechnung aufzustellen.
Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[http://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[Richtungsableitung]] und das [[Gâteaux-Differential]]<ref name="englQuatAn" />.

Ausgehend von den [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal|first=R.|last=Fueter|authorlink=Rudolf Fueter|title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen|journal=Comm. Math. Helv.|volume=8|date=1936|pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal|first=C.A.|last=Deavours|title=The Quaternion Calculus|journal=Amer. Math. Monthly|volume=80|date=1973|pages=995–1008}} (englisch)</ref><ref>{{cite journal|first=A.|last=Sudbery|title=Quaternionic Analysis|doi=10.1017/S0305004100055638|journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc.|volume=85|date=1979|pages=199–225}} (englisch)</ref>

== Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen ==
=== Minkowski-Skalarprodukt ===
Das [[Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>:
: <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math>

=== Vektoranalysis ===

Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als
: <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math>
und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]]
: <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math>
Die Anwendung auf ein Vektorfeld
: <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math>
als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]
: <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;.

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]]
: <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\;
\mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right )
 +
\mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right )
 +
\mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;.

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt
: <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math>
mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion.

Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[Laplace-Operator]] <math>\triangle</math>
: <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math>
d.&nbsp;h. <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators.

=== Drehungen im dreidimensionalen Raum ===
Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung
: <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math>
auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h. deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.)

Die [[#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als
: <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp; .
Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>.

Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>.

Die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h.
: <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math>
Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen:
: <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math>

{{Anker|2:1-Überlagerung}}
Damit ist die Abbildung
:<math>
  \begin{array}{rccc}
  \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\
         & q & \mapsto & \rho_q
  \end{array}
</math>
ein [[Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[Orthogonale Gruppe#Universelle Überlagerung der SO(3)|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und, da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref>[[#Conway|Conway a. a. O.]], Seite 33.</ref> genannt wird. Ferner ist sie [[Orthogonale Gruppe#Universelle Überlagerung der SO(3)|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist.

==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ====
Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>,
: <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math>
mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>
die [[Drehmatrix]]
: <math>
\begin{array}{rlll}
D_q := &
\begin{bmatrix}
q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 &
-2q_0q_3+2q_1q_2 &
2q_0q_2+2q_1q_3 \\

2q_0q_3+2q_1q_2 &
q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 &
-2q_0q_1+2q_2q_3 \\

-2q_0q_2+2q_1q_3 &
2q_0q_1+2q_2q_3 &
q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2
\end{bmatrix} \\[.3em]
= &
\begin{bmatrix}
1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; &
-2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, &
2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\

2q_0q_3+2q_1q_2 &
1-2(q_1^2 + q_3^2) &
-2q_0q_1+2q_2q_3 \\

-2q_0q_2+2q_1q_3 &
2q_0q_1+2q_2q_3 &
1-2(q_1^2 + q_2^2)
\end{bmatrix}
\in \mathrm{SO}(3)
\end{array}
</math>
eine Formel, die auch als [[Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt ist.
Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab.

Ist umgekehrt die Drehmatrix
:<math>D =
\begin{bmatrix}
d_{11} & d_{12} & d_{13} \\
d_{21} & d_{22} & d_{23} \\
d_{31} & d_{32} & d_{33}
\end{bmatrix}
\in \mathrm{SO}(3)</math><ref>zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[Orthogonale Gruppe#Dreidimensionale Drehungen]].</ref>
gegeben und ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]]
:<math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;,
dann bewerkstelligt die Quaternion
: <math>q_D :=
T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k
</math>
die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;.

Wenn man die [[Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden.

Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die 9 Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also <math>D</math> wirklich <math>\in\mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>.

Überlegungen zur numerischen Stabilität des Problems finden sich in [[:en:Rotation matrix#Conversions]].

==== Bezug zu Eulerwinkeln ====
Für [[Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[Eulersche Winkel#Standard-x-Konvention (z, x′, z″)|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]]
: <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math>
und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also
: <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math>
: <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math>
:: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math>
:: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math>
:: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math>
Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln.

Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[Drehmatrix]] ablesen.<ref>Zur Komplexität, Mehrdeutigkeit und zum Phänomen des „[[Gimbal Lock]]“ siehe [[:en:Rotation matrix#Euler angles]].</ref>

==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ====
Wie im Abschnitt [[#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[:en:Spin group|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[Spin]]).

Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[Orthogonale Gruppe#Universelle Überlagerung der SO(3)|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[Spinor]]darstellung.

Die aus der [[Quantenmechanik]] bekannten sog. [[Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Dies wird besonders deutlich in der Darstellung als [[#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]:
:<math>
\sigma_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad

\sigma_2 =
\begin{bmatrix}
0 & -\mathrm i_\Complex\\
\mathrm i_\Complex & 0
\end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad

\sigma_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i
</math>&nbsp;,
dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Pauli-Matrizen haben –1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[spurfrei]] und [[Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[SU(2)]] dargestellt.

=== Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes ===

Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form
: <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math>
für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt
: <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math>
Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung
: <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math>
mit [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>.

== Die endlichen Untergruppen ==
Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]]
: <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>,
der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]]
:<math>
  \begin{array}{rccc}
  \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\
         & x & \mapsto & qx\bar q
  \end{array}
</math>
zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>.

Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als [[:en:binary polyhedral group|binäre Erweiterung]] <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref>

Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach<ref>[[#Conway|Conway a. a. O.]], 3.5 The Finite Groups of Quaternions, Seite 33</ref> <math>(2 \leq n \in \Z)</math> :
{| class="wikitable left" style="text-align: center;"
|-
| Gruppe || erzeugt<br />von || align="right" | Ordnung || [[konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math>
|-
| <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> || align="right" | <math>n</math> || [[Polygon|reguläres ''n''-Eck]]
|-
| <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> || align="right" | <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math><ref name="perf4polyt">[http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf Gabor Gévay: ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref>, bei ''n''=2 zugleich: [[Hurwitzquaternion#Regulärer 16-Zeller (Hexadekachor)|regulärer 16-Zeller]]
|-
| <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> || align="right" | <math>24</math> || [[Hurwitzquaternion#Regulärer 24-Zeller (Ikositetrachor)|regulärer 24-Zeller]]
|-
| <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> || align="right" | <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = [[:en:Truncated 24-cell#Bitruncated 24-cell|Dihektaoktokontaoktochor (288-Zeller)]]
|-
| <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> || align="right" | <math>120</math> || [[:en:600-cell|regulärer 600-Zeller]]
|}
mit
: <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;.

Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>.
Die [[Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>.

Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden.

== Automorphismen ==

Ein jeder Ring-[[Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]]<ref>[[#Lam|Lam a. a. O.]], Seite 24</ref>, d.&nbsp;h. es gibt eine Quaternion <math>q</math>, so dass <math>\sigma\colon x \mapsto qxq^{-1}</math>. Daraus folgt:
* Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>.
* Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken.
* Ein Automorphismus ändert nicht das [[#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>.
* Die Automorphismen sind genau die [[Winkeltreue|winkel-]] und [[längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]].
* Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[Stetigkeit|stetig]], somit zusätzlich [[Homöomorphismus|topologisch]].
* <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[Automorphismengruppe]] <math>\mathrm {Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>.

Die [[#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph<ref>{{MathWorld |title=Antihomomorphism|urlname=Antihomomorphism}}</ref> in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] ist.

== Andere Konstruktionen ==
=== Matrixdarstellungen ===
==== Komplexe Matrizen ====
Im [[Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen]] 2&times;2-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen
: <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad
\mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad
\mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad
\mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math>
erzeugten [[Unterring]] <math>H</math><ref>ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math></ref>, wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[spurfrei]] und [[Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref>
Eine Matrix
: <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math>
mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[nullteilerfrei]] (siehe auch [[#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref>

Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen
: <math>1 \mapsto 1_H,\quad
\mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad
\mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad
\mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math>
ist [[homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[adjungierte Matrix]] und die [[#Norm|Norm]] auf die [[Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[Homöomorphismus|topologisch]].

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[#Automorphismen|Automorphismus]].</ref>

==== Reelle Matrizen ====
Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4&times;4-Matrix
: <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr}
 x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\
 -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\
 -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\
 -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0
\end{array}\end{bmatrix}</math>
: <math>= x_0
\left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{smallmatrix}\right]
+ x_1
\left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr}
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\end{smallmatrix}\right]
+ x_2
\left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\end{smallmatrix}\right]
+ x_3
\left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 -1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\end{smallmatrix}\right]
</math>
schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für lineare Algebra mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat.

=== Quotientenalgebra ===
Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[Faktorring|Quotienten]] des [[Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus.

Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert.

== Die Quaternionen als Algebra ==
Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]] ([[:en:Frobenius theorem (real division algebras)]]) Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]] ([[:en:Hurwitz's theorem (normed division algebras)]]).</ref><ref>Satz von [[Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[lokalkompakt]]e, [[zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref>

Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[Reduzierte]] [[Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch
: <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math>
gegeben.

Beim [[Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra:
: <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math>
Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[Tensorprodukt]]es entspricht einer [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution
: <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;.

Die Tatsache, dass die [[Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass
: <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math>
ist.

Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[:en:Central simple algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[:en:Quaternion algebra|Quaternionenalgebra]].

Die Quaternionen sind die [[Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[Bilinearform]].

== Andere Grundkörper ==
=== Quaternionen über den rationalen Zahlen ===
Bei allen [[#Konstruktionen|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[gaußsche Zahl]]en <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten'''
:<math>R := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math>
anzukommen – mit formal denselben [[#Rechenregeln|Rechenregeln]]. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[#Konjugation und Betrag|Betrags]][[metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H \, </math>.

Insofern kann bei vielen Aussagen <math>\R \, </math> durch <math>\Q \, </math>, <math>\Complex \, </math> durch <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> und <math>\mathbb H \, </math> durch <math>R \, </math> ersetzt werden.

Da es nach dem [[Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[Schiefkörper]] mit nicht-[[Kommutativität|kommutativer]] [[Multiplikation]] gibt und die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[Vektorraum]]s <math>R \, </math> über seinem [[Primkörper]] und [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q \, </math> mit <math>2^2=4 \, </math> minimal ist, gehört <math>R \, </math> als [[Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation – auf jeden Fall enthält <math>R \, </math> keinen kleineren.

Der Schiefkörper <math>R \, </math> besitzt einen sogenannten [[Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[Untermenge]] von Zahlen, genannt [[Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>R \, </math> zum [[Quotientenkörper]] haben, – ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z \, </math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q \, </math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen.
{{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}}

=== Weitere Grundkörper ===
Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus 4 Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt.

Aber auch bei Körpern, die nicht [[geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus 4 Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>R</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm,
:<math>
  \begin{array}{rccccc}
  v \colon & R^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\
         & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x)
  \end{array}
</math>
mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;.
Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[:en:Quaternion algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist.

== Anwendungen ==
=== Eulerscher Vier-Quadrate-Satz ===
Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten''
: <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math>
{|
|-
| style="width:3em;" | || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math>
|-
| || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math>
|-
| || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math>
|-
| || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math>
|}
wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell – einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[Permutation]] entstehen, – in jedem [[Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[Vier-Quadrate-Satz#Bezug zum eulerschen Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte.

=== Informatik und Ingenieurwissenschaften ===
Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird heutzutage im Bereich der interaktiven [[Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung und Regelung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele [[Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit.
Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. ABB) genutzt.

=== Physik ===
Durch die Verwendung der Quaternionen kann man in vielen Fällen auf getrennte Gleichungen zur Berechnung von Zeit und Raum verzichten. Dies bietet Vorteile in der Physik, unter anderem in den Gebieten [[Mechanik]], [[Wellengleichung]]en, [[Spezielle Relativitätstheorie]] und [[Gravitation]], [[Elektromagnetismus]] sowie der [[Quantenmechanik]].

Wie im Abschnitt [[#Vektoranalysis|Vektoranalysis]] werden Vektoren im dreidimensionalen Raum mit reinen Quaternionen identifiziert.

==== Elektromagnetismus ====
Die [[Maxwell-Gleichungen]] zur Beschreibung des Elektromagnetismus sind der bekannteste Anwendungsfall für Quaternionen. Die Maxwellgleichungen werden durch eine Gruppe von [[Kommutator (Mathematik)|Kommutatoren]] und [[Antikommutator]]en des [[Differentialrechnung|Differenzoperators]], des [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]]&nbsp;''E'' und dem [[Magnetisches Feld|magnetischen Feld]]&nbsp;''B'' im [[Vakuum]] definiert. Im Wesentlichen sind dieses die homogene Maxwellgleichung und das [[Gaußsches Gesetz|gaußsche Gesetz]].

Im Folgenden werden modifizierte [[Kommutator (Mathematik)|Kommutatoren bzw. Antikommutatoren]] verwendet:
:<math>\operatorname{Ungerade} \left\langle x ; y \right\rangle \;:=\; \frac{x \, y - y \, x}{2} \;=\; (0, \, \vec x \times \vec y)</math><ref name="yx">Die Beispiele haben als ersten Operanden <math>x</math> alle einen Differentialoperator, der auf den zweiten Operanden <math>y</math> wirkt. Die Brüche enthalten jedoch mit <math>y \, x</math> eine unbrauchbare Reihenfolge. Bei den Ausrechnungen ganz rechts kommt immer <math>x</math> vor <math>y</math>.</ref>
bzw.
:<math>\operatorname{Gerade} \left\langle x ; y \right\rangle \;:=\; \frac{x \, y + y \, x}{2} \;=\; (x_0 y_0 - \vec x \cdot \vec y, \, x_0 \vec y + \vec x y_0)</math><ref name="yx" />
und
:<math>\overrightarrow{\operatorname{Gerade} \left\langle x ; y \right\rangle} \;=\; x_0 \vec y + \vec x y_0</math>
mit <math>x,y</math> als (formalen) Quaternionen und diversen formalen Produkten.

Die homogene Maxwellgleichung ist definiert durch:
:<math>\operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ;
\left( 0, \vec B \right) \right\rangle + \operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle</math>
:<math>= \left( - \vec\nabla\cdot \vec B, \vec\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \right) = \left( 0, \vec 0 \right)</math>&nbsp;.
Hierbei besagt <math>-\vec\nabla\cdot \vec B = 0</math>, dass keine [[Magnetischer Monopol|magnetischen Monopole]] existieren. <math>\textstyle \vec\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = \vec 0</math> ist das [[Induktionsgesetz|Faradaysche Induktionsgesetz]].

Das gaußsche Gesetz definiert sich umgekehrt aus:
:<math>
\operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ;
\left( 0, \vec B \right) \right\rangle - \operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle
</math>
:<math>
 = \left( \vec\nabla\cdot \vec E, \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right) = 4 \, \pi \, \left( \rho, \vec{J} \right)
</math>&nbsp;.
Hierbei ergibt <math>\vec\nabla\cdot \vec E</math> das gaußsche Gesetz und <math>\textstyle \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math> das von Maxwell korrigierte [[Ampèresches Gesetz|Ampèresche Durchflutungsgesetz]].

===== Elektromagnetisches Viererpotential =====
Die elektrischen und magnetischen Felder werden häufig als elektromagnetisches [[Viererpotential]] (d.&nbsp;h. als 4-wertiger Vektor) ausgedrückt. Dieser Vektor kann auch als Quaternion umformuliert werden.

:<math>E = \overrightarrow{\operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle} = \left( 0, -\frac{\partial \vec A}{\partial t} -\vec\nabla \phi \right)</math>

:<math>B = \operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle = \left( 0, \vec\nabla \times \vec{A} \right)</math>

Das elektrische Feld&nbsp;''E'' ist der [[Antikommutator]] des konjugierten, differenzierten Vierpotenzials. Das magnetische Feld&nbsp;''B'' verwendet den Kommutator. Durch diese Darstellungsform kann man direkt in die Maxwellgleichungen einsetzen:

:<math>\operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle \right\rangle</math>
:<math>+ \operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \overrightarrow{ \operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle} \right\rangle</math>
:<math>= \left( -\vec\nabla \cdot\vec\nabla \times \vec{A}, \frac{\partial \, \vec\nabla \vec{A}}{\partial t} - \vec\nabla \times \frac{\partial \vec A}{\partial t} - \vec\nabla \times \vec\nabla \, \phi \right)</math>
:<math>= \left( -\vec\nabla\cdot \vec B, \vec\nabla \times \vec E + \frac{\partial\vec B}{\partial t} \right) = \left( 0, \vec 0 \right)</math>

sowie

:<math>\operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, \vec{A} \right) \right\rangle \right\rangle</math>
:<math>- \operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, \vec\nabla \right) ; \overrightarrow{ \operatorname{Gerade} \left\langle \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle} \right\rangle</math>
:<math>= \left( -\vec\nabla\cdot\vec\nabla\,\phi - \vec\nabla\cdot\frac{\partial\vec A}{\partial t}, \vec\nabla\times\vec\nabla\times\vec A + \frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} + \frac{\partial\vec\nabla\phi}{\partial t} \right)</math>
:<math>= \left( \vec\nabla \cdot \vec E, \vec\nabla \times \vec{B} + \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right) = 4\,\pi\,\left( \rho, \vec J \right)</math>&nbsp;.

Hierbei sind die Ausdrücke <math>-\vec\nabla \cdot\vec B</math> und <math>\vec\nabla \cdot \vec E</math> die beiden [[Quellenfeld]]er, die durch die Differenz aus zwei Kommutatoren und zwei Antikommutatoren gebildet werden.

Das Induktionsgesetz <math>\textstyle \vec\nabla \times \vec E + \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0</math> und das Durchflutungsgesetz <math>\textstyle \vec\nabla \times \vec{B} + \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = 4\,\pi\,\vec J</math> werden durch die Summe aus den zwei ineinanderliegenden Kommutatoren und Antikommutatoren gebildet.

===== Lorentzkraft =====
Die [[Lorentzkraft]] wird auf ähnliche Weise aus den Maxwellgleichungen abgeleitet. Allerdings müssen die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] korrigiert werden.

:<math>\operatorname{Ungerade} \left\langle \left( \gamma, \gamma\,\vec\beta \right) ; \left( 0, \vec B \right) \right\rangle - \operatorname{Gerade} \left\langle \left( -\gamma, \gamma\vec\beta \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle</math>
:<math>= \left( \gamma\,\vec\beta\cdot\vec E, \gamma\,\vec E + \gamma\,\vec\beta\times\vec B \right)</math>

===== Erhaltungssatz =====
Der [[Erhaltungssatz]] der [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] wird durch die Anwendung des konjugierten Differenzoperators auf die Quellen der Maxwellgleichung gebildet. Mit <math>\operatorname{Skalar}( x )</math> sei hier der [[#Skalarteil und Vektorteil|Real- oder Skalarteil]] der Quaternion <math>x</math> bezeichnet. In den Beispielen ist <math>x</math> ein Quaternionenprodukt.
:{|
|-
| <math>\operatorname{Skalar}\left ( \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right ) \left ( \vec\nabla \cdot \vec{E}, \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right ) \right )</math>
| <math> {=} </math>
| <math>\operatorname{Skalar} \left( \left( \frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right) \, 4\,\pi\left( \rho, \vec{J} \right) \right)</math>
|-
|align="center"| <math>\frac{\partial}{\partial t} \vec\nabla\cdot \vec{E} - \vec\nabla \cdot \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + \vec\nabla\cdot\vec\nabla\times\vec{B}</math>
| <math> {=} </math>
|align="center"| <math>4\,\pi\,\left( \vec\nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} \right)</math>
|-
|}

Diese Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt des elektrischen Feldes <math>\vec E</math> plus dem Kreuzprodukt des magnetischen Feldes <math>\vec B</math> auf der einen Seite, sowie der [[Elektrische Stromdichte|Stromdichte]] <math>\vec J</math> plus der Frequenz der [[Ladungsdichte]] <math>\rho</math> auf der anderen Seite, gleich ist. Dieses bedeutet, dass die Ladung bei der Umformung erhalten bleibt.

[[John Henry Poynting|Poyntings]] [[Energieerhaltungssatz]] wird in auf dieselbe Weise abgeleitet, mit dem Unterschied, dass statt des Differentials das konjugierte elektrische Feld <math>\vec E</math> verwendet wird.

:{|
|-
| <math>\operatorname{Skalar}\left( \left( 0, -\vec{E} \right) \left( \vec\nabla \, \vec{E}, \vec\nabla\times\vec{B} - \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right) \right)</math>
| <math>{=}</math>
| <math>\operatorname{Skalar}\left( \left( 0, -\vec{E} \right) \, 4\,\pi\,\left( \rho, \vec{J} \right) \right)</math>
|-
|align="center"| <math>\vec{E}\cdot\vec\nabla\times\vec{B}-\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>
| <math>{=}</math>
|align="center"| <math>4\,\pi\vec{E}\,\vec{J}</math>
|-
|}

Mit den Vektoridentitäten

:<math>\vec{E}\cdot\left( \vec\nabla\times\vec{B} \right) = \vec{B}\cdot\left( \vec\nabla\times\vec{E} \right) + \vec\nabla\cdot\left( \vec{B}\times\vec{E} \right)</math>
:<math>\vec\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
:<math>\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \frac{ {\left( \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right) }^2}{2}</math>
:<math>\vec{B}\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = \frac{ {\left( \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \right) }^2}{2}</math>

kann man diese Gleichung nach

:<math>-\left( \vec\nabla\cdot\left( \vec{E}\times\vec{B} \right) + \frac{{\left( \partial\vec{E} + \partial\vec{B} \right)}^2 }{2\,\partial t^2} \right) = 4\pi\vec{E} \cdot \vec{J}</math>

umformen, was der [[Poynting-Gleichung]] entspricht. Der Ausdruck <math>\vec{E}\times\vec{B}</math> entspricht hierbei dem [[Poynting-Vektor]].

== Geschichte ==
[[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]]
[[William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht.
Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[Hermann Graßmann]] untersucht (1855).

Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an.

Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie:
{{Zitat|Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen.|Felix Klein|''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert''<ref>{{Literatur|Autor=Felix Klein|Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert|Band=Teil&nbsp;I.|Verlag=Verlag von Julius Springer|Ort=Berlin|Jahr=1926|Seiten=184ff}}</ref>}}

== Verwandte Themen ==
Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Namen „[[hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ.

== Siehe auch ==
* [[Hyperkomplexe Zahl]]
* [[Spezielle unitäre Gruppe]]
* [[Quaternionische Kählermannigfaltigkeit]]

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X
{{Anker|Conway}}
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternios and Octonions'', A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch)
* Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences'', Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch)
* W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)'', Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch)
* Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions'', Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch)
{{Anker|Pontrjagin}}
* [[Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995
{{Anker|Eilenberg-Niven}}
* S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions. Bull. Amer. Soc. '''50'''(1944), 246–248.
{{Anker|Hölder}}{{wikisource|Bemerkung zur Quaternionentheorie}}

== Quellen ==
* Jens Carsten Jantzen, [[Joachim Schwermer]], ''Algebra'', Springer, 2006, ISBN 3540213805, {{doi|10.1007/3-540-29287-X}}
* [[Serge Lang]], ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X
* [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB)

== Weblinks ==
{{Anker|Lam}}
* [[Tsit Yuen Lam]] ([[University of California, Berkeley|Berkeley]]): [http://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton's Quaternions''] ([[PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009.
* [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)]
* [http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html Eric W. Weisstein „Quaternionen.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource]
* {{YouTube|d4EgbgTm0Bg|What are quaternions, and how do you visualize them? A story of four dimensions.}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}}

[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]