Quelltext der Seite Sinus und Kosinus

{{Weiterleitungshinweis|''Sinus, Kosinus'' und ''Cosinus''|Zu weiteren Bedeutungen siehe [[Sinus (Begriffsklärung)]], [[Kosinus (Begriffsklärung)]] und [[Cosinus (Begriffsklärung)]].|mehrzahl=ja}}

[[Datei:Sine cosine one period.svg|mini|380px|[[Funktionsgraph|Graphen]] der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen haben eine [[Periode (Physik)|Periode]] von <math>2 \pi</math> und nehmen Werte von −1 bis 1 an.]]

'''Sinus-''' und '''Kosinusfunktion''' (auch '''Cosinusfunktion''') sind [[Elementare Funktion|elementare mathematische Funktionen]].
Vor [[Tangens und Kotangens]], [[Sekans und Kosekans]] bilden sie die wichtigsten [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für [[Dreieck]]sberechnungen in der ebenen und [[Sphärische Trigonometrie|sphärischen]] [[Trigonometrie]] benötigt. Auch in der [[Analysis]] sind sie wichtig.

[[Welle]]n wie [[Schallwelle]]n, [[Wasserwelle]]n und [[elektromagnetische Welle]]n lassen sich als aus Sinus- und Kosinuswellen zusammengesetzt beschreiben, sodass die Funktionen auch in der [[Physik]] als [[harmonische Schwingung]]en allgegenwärtig sind.

== Herkunft des Namens ==
Die lateinische Bezeichnung ''Sinus'' „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte [[Gerhard von Cremona]] 1175<ref>J. Ruska: ''Zur Geschichte des „Sinus“.'' In: ''Zeitschrift für Mathematik und Physik.'' Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN599415665_0040&DMDID=DMDLOG_0045&LOGID=LOG_0053&PHYSID=PHYS_0548 Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.]</ref> als Übersetzung der arabischen Bezeichnung ''gaib'' oder ''jiba'' (جيب) „Tasche, Kleiderfalte“, selbst entlehnt von [[Sanskrit]] ''jiva'' „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus ''complementi sinus,'' also Sinus des [[Komplementärwinkel]]s. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von [[Georg von Peuerbach]] und seinem Schüler [[Regiomontanus]] erstellt wurden.<ref>Josef Laub (Hrsg.) ''Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.'' 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6. S. 207.</ref>

== Geometrische Definition ==
=== Definition am rechtwinkligen Dreieck ===
[[Datei:RechtwinkligesDreieckABC.svg|miniatur|hochkant=2|Dreieck mit den Punkten ABC und den gegenüberliegenden Seiten a,b,c.]]
[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|mini|hochkant=2|Dreieck ABC mit einem rechten Winkel <math>\gamma</math> in C. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass <math>\alpha</math> der betrachtete Winkel ist.)]]

Alle ebenen, zueinander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlichen]] Dreiecke haben gleiche [[Winkel]] und [[Seitenlänge#Seitenlänge von Dreiecken|gleiche Längenverhältnisse der Seiten]].

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] durchzuführen.
Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die [[Winkelmaß|Maße von Winkeln]] und die [[Längenmaß|Längen von Seiten]] berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß der beiden [[Winkel#Arten von Winkeln|spitzen Winkel]] abhängig.
Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt stets 90°), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der '''Sinus''' eines [[Winkel]]s ist das Verhältnis der Länge der [[Gegenkathete]] ([[Kathete]], die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der [[Hypotenuse]] (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

:<math>\text{Sinus eines Winkels}
= \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}</math>

Der '''Kosinus''' ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

:<math>\text{Kosinus eines Winkels}
= \frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}</math>

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:
:<math>\sin (\alpha) = \frac{a}{c} \quad \text{und} \quad \cos (\alpha) = \frac{b}{c}</math>

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen <math>\sin\left(\alpha\right)\leq 1</math> und <math>\cos\left(\alpha\right)\leq 1</math>.

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

:<math>\sin (\beta) = \frac{b}{c}</math>
:<math>\cos (\beta) = \frac{a}{c}</math>

Da im rechtwinkligen Dreieck <math>\alpha + \beta = 90^\circ</math> gilt, folgt:

:<math>\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)</math>
und
:<math>\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)</math>

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung ''Kosinus'' als Sinus des [[Komplementärwinkel]]s.

Aus dem [[Satz des Pythagoras]] lässt sich die Beziehung („[[trigonometrischer Pythagoras]]“) ableiten:
:<math>\sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1</math>

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert.
Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-Funktion als <math>y</math>-Koordinate und der der Kosinus-Funktion als <math>x</math>-Koordinate eines Punktes am [[Einheitskreis]] ([[#Definition am Einheitskreis|siehe unten]]) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als ''Argument'' zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|komplexe Exponentialfunktion]] ([[#Beziehung zur Exponentialfunktion|siehe unten]]).

=== Definition am Einheitskreis ===
[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg|miniatur|Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis]]
[[Datei:Einheitskreis Ani.gif|miniatur|Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten]]
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt <math>P</math> mit den [[Koordinaten]] <math>(x,y)</math> auf dem [[Einheitskreis]] betrachtet, hier gilt <math>x^2+y^2=1</math>. Die positive <math>x</math>-Achse schließt mit dem [[Ortsvektor]] von <math>P</math> einen Winkel <math>\alpha</math> ein.
Der Koordinatenursprung <math>(0,0)</math>, der Punkt <math>(x,0)</math> auf der <math>x</math>-Achse und der Punkt <math>P(x,y)</math> bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt <math>\sqrt{x^2+y^2}=1</math>. Die Ankathete des Winkels <math>\alpha</math> ist die Strecke zwischen <math>(0,0)</math> und <math>(x,0)</math> und hat die Länge <math>|x|</math>. Es gilt:
:<math>\cos(\alpha)=x</math>.
Die Gegenkathete des Winkels <math>\alpha</math> ist die Strecke zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(x,y)</math> und hat die Länge <math>|y|</math>. Somit ist:
:<math>\sin(\alpha)=y</math>.
Daraus folgt durch den [[Strahlensatz]] die Definition des [[Tangens]]:
:<math>\tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math>.

Die <math>y</math>-Koordinate eines Punktes im ersten [[Quadrant]]en des Einheitskreises ist also der Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der <math>x</math>-Achse, während die <math>x</math>-Koordinate der Kosinus des Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrung der Sinus-/Kosinusfunktion ist nicht eindeutig. Zu jeder Zahl <math>y</math> zwischen −1 und 1 (<math> -1 < y < 1</math>) gibt es schon zwischen 0° und 360° (<math> 0^\circ < \alpha \leq 360^\circ </math>) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

Punktsymmetrien:
:<math>\sin(-\alpha)= -\sin(\alpha)</math>
und
:<math>\cos(90^\circ+\alpha)=-\cos(90^\circ-\alpha)</math>,
Achsensymmetrien:
:<math>\cos(-\alpha)= \cos(\alpha)</math>
und
:<math>\sin(90^\circ+\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)</math> .

Der Sinus ist also eine [[Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]] Funktion, der Kosinus eine [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade]].

Sinus und Kosinus sind [[periodische Funktion]]en mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch
:<math>\sin(\alpha + k \cdot 360^\circ)=\sin(\alpha)</math>
sowie
:<math>\cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)=\cos(\alpha)</math>,
wobei <math> k </math> eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu <math>\alpha=0^\circ</math> (cos) bzw. <math>\alpha=90^\circ</math> (sin) und zu <math>(0,0)</math> (sin) bzw. <math>(90^\circ|0)</math> (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der <math> x </math>-Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im [[Bogenmaß]] gemessen. Ein Winkel von <math>360^\circ</math> entspricht einem Bogenmaß von <math>2 \pi</math>.
[[Datei:Sinus und Cosinus am Einheitskreis.gif|zentriert|Animation zur Konstruktion der Sinus- und Kosinusfunktion]]

== Analytische Definition ==
[[Datei:Sine.svg|mini|Graph der Sinusfunktion <math>x\mapsto \sin(x)</math>]]
[[Datei:Cosine.svg|mini|Graph der Kosinusfunktion <math>x\mapsto \cos(x)</math>]]

Sinus und Kosinus können auch auf einer [[axiom]]atischen Basis behandelt werden; dieser [[Formalisierung|formalere]] Zugang spielt auch in der [[Analysis]] eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf [[Komplexe Zahl|komplexe]] Argumente. Sinus und Kosinus als [[komplexwertige Funktion]] aufgefasst sind [[Holomorphe Funktion|holomorph]] und [[surjektiv]].

=== Motivation durch Taylorreihen ===
[[Datei:Taylorreihenentwicklung des Kosinus.svg|mini|<math>\cos(x)</math> zusammen mit den ersten Taylorpolynomen <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]
[[Datei:Sine.gif|mini|Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je höher die Zahl <math>N</math> ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei <math>N=2</math> neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom <math>\sum_{k=0}^2 \tfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} = x - \tfrac{x^3}{6}</math> eingezeichnet.]]
Durch den Übergang vom Winkelmaß zum [[Bogenmaß]] können Sinus und Cosinus als [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] von <math>\R</math> nach <math>\R</math> erklärt werden. Es kann nachgewiesen werden, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

:<math>
\sin^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix}
 0 & \text{wenn } k=0 \\
 1 & \text{wenn } k=1 \\
 0 & \text{wenn } k=2 \\
-1 & \text{wenn } k=3 \end{matrix}\right.
\qquad
\cos^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix}
 1 & \text{wenn } k=0 \\
 0 & \text{wenn } k=1 \\
-1 & \text{wenn } k=2 \\
 0 & \text{wenn } k=3 \end{matrix}\right.
</math>.
Die Wahl des Bogenmaßes führt dazu, dass hier die Werte <math>\pm 1</math> auftreten. Die sich daraus ergebenden [[Taylorreihe]]n stellen die Funktionen <math>\sin(x)</math> und <math>\cos(x)</math> dar, das heißt:

:<math>\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb</math>
:<math>\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb</math>

=== Reihenentwicklung in der Analysis ===
In der Analysis geht man von einer [[Reihe (Mathematik)|Reihenentwicklung]] aus und leitet umgekehrt daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen [[Potenzreihe]]n erklärt werden.
Mit dem [[Quotientenkriterium]] lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede [[komplexe Zahl]] <math>x</math> [[Absolute Konvergenz|absolut]] und in jeder [[Supremum#Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen|beschränkten Teilmenge]] der komplexen Zahlen [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig konvergieren]]. Diese [[Unendliche Reihe|unendlichen Reihen]] verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch <math>\pi</math> wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung <math>\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0</math> als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von <math>\pi</math> gegeben.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Berechnung lassen sich daher die [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]] und [[Symmetrische Funktion|Symmetrie der Funktionen]] ausnutzen und der <math>x</math>-Wert bis auf den Bereich <math>-\pi/4</math> bis <math>\pi/4</math> reduzieren. Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das [[Taylorpolynom]] der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.&nbsp;B. hat im Intervall <math>[-\pi/4, \pi/4]</math> einen [[Fehlerschranke#Relativer Fehler|relativen Fehler]] von unter 0,05 %. Im Artikel [[Taylor-Formel]] sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in [[Abramowitz-Stegun]] finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.<ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, [http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_76.htm ('''4.3.96'''–'''4.3.99''')]</ref>

=== Beziehung zur Exponentialfunktion ===
[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|mini|Der Realteil von <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}</math> ist <math>\cos \theta</math> und der Imaginärteil ist <math>\sin \theta</math>.]]
Die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] sind eng mit der [[Exponentialfunktion]] verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:

:<math>\begin{align}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}
&= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}x)^k}{k!}
= \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l}}{(2l)!}
+ \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l+1}}{(2l+1)!}\\

&=\underbrace{\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l \frac{x^{2l}}{(2l)!}}_{\cos x}
+ \mathrm{i} \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0} (-1)^l \frac{x^{2l+1}}{(2l+1)!}}_{\sin x}\\
&= \cos x + \mathrm{i} \sin x
\end{align}</math>

Dabei wurde verwendet
<math>\mathrm{i}^{2l} = (\mathrm{i}^2)^l = (-1)^l\,</math>
sowie
<math>\mathrm{i}^{2l+1}= \mathrm{i}\cdot \mathrm{i}^{2l} = \mathrm{i}(-1)^l</math>

[[Datei:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|miniatur|Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion]]
Somit ergibt sich die sogenannte [[Eulersche Formel|Eulerformel]]
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i}\cdot \sin x</math>.

Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist also <math> \cos(x)</math> der [[Realteil]] und <math> \sin(x)</math> der [[Imaginärteil]] der komplexen Zahl <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x}</math>.

Durch Ersetzung von <math>x</math> durch <math>-x</math> ergibt sich:
:<math>\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i}\cdot \sin x</math>.
Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:

:<math>\sin x = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)</math>
und
:<math>\cos x = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)</math>.

Diese Gleichung gilt nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] des Sinus und Kosinus, nachweisen.

=== Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge ===
Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die [[Differentialrechnung|Differenzierbarkeit]] durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die [[Eulersche Identität|Eulerformel]] ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für <math>\cos\,</math> und <math>i\,\sin</math> ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion <math>x\mapsto e^{i x}</math>, die das Intervall <math>[0,2\pi]</math> auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn <math>\cos(x)</math> und <math>\sin(x)</math> sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von <math>e^{ix}</math>, das heißt die [[Projektion (Mengenlehre)|Projektion]] dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Neben <math>x\mapsto e^{ix}</math> gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa
:<math>\gamma(t) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right),\quad -\infty<t<\infty.</math>
Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die [[Länge (Mathematik)|Länge]] dieser [[Funktionsgraph|Kurve]] wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich als
: <math>s(t) = \int_0^t |\dot\gamma(\tau)|\,\mathrm d\tau
=\int_0^t\frac{2\,\mathrm d\tau}{\tau^2+1}.</math>
Wie leicht zu zeigen ist, ist <math>s(t)</math> ungerade, [[Stetigkeit|stetig]], streng [[Reelle monotone Funktion|monoton]] wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von <math>s(t)</math> gleich <math>\pi</math> ist; <math>\pi</math> wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als [[Supremum]] von <math>s(t)</math> definiert.

Die Funktion
:<math>s(t)\colon\mathbb R\to(-\pi,\pi) </math>
ist auch differenzierbar:
:<math>\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \frac{2}{1+t^2}</math>.
Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die [[Umkehrfunktion]]
:<math>t(s)\colon(-\pi,\pi) \to \mathbb R </math>
gilt
:<math>\frac{\mathrm d t}{\mathrm d s} = \frac{1+t^2(s)}{2}</math>.

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion <math>t(s)</math> lassen sich nun Sinus und Kosinus als <math>y</math>- und <math>x</math>-Komponente von <math>\gamma</math> analytisch definieren:

:<math>\sin s := \frac{2t(s)}{1+t^2(s)}</math>

sowie

:<math>\cos s := \frac{1-t^2(s)}{1+t^2(s)}</math>.

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

=== Definition als Lösung einer Funktionalgleichung ===
Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer [[Funktionalgleichung]] zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar [[Stetige Funktion|stetiger Funktionen]] <math>\sin, \cos\colon\R\to\R</math>, das für alle <math>x,y\in\R</math> die Gleichungen
:<math>\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)</math> und
:<math>\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)</math>
erfüllt. Die Lösung <math>\sin</math> definiert dann den Sinus, die Lösung <math>\cos</math> den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass
:<math>\sin(x)</math> eine [[Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]] Funktion,
:<math>\cos(x)</math> eine [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade]] Funktion,
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1</math> und
:<math>\cos(0)=1</math>
ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die [[Differenzierbarkeit]] des Sinus in 0 vorausgesetzt; <math>\pi</math> wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von [[Leopold Vietoris]]<ref name="Vietoris">Leopold Vietoris: ''Vom Grenzwert <math>\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}</math>.'' In: ''Elemente der Mathematik.'' Band 12, 1957.</ref> und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, <math>\pi</math> auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen <math>2^n</math>-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise
:<math>\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1</math>,
:<math>\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0</math>, und
:<math>\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\ne 0</math> für alle <math>n\in\N\backslash\lbrace 1 \rbrace</math>.

Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.

=== Produktentwicklung ===
:<math> \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) </math>

:<math> \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) </math>
:
:<math> \sin(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi}{\frac\pi2+n\pi} \right) </math>
:<math> \cos(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi+\frac\pi2}{\frac\pi2+n\pi} \right) </math>
:

<math>x\;</math> ist dabei im Bogenmaß anzugeben.

== Wertebereich und spezielle Funktionswerte ==
=== Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus ===
:<math>\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + 90^\circ \right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)</math> ([[Gradmaß]])
:<math>\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + \pi/2 \right)=\cos\left(\alpha - \pi/2\right)</math> ([[Bogenmaß]])
:<math>\sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2(\alpha)=1</math> („[[trigonometrischer Pythagoras]]“)

Insbesondere folgt daraus <math>|{\sin\alpha}|\leq 1</math> und <math>|{\cos\alpha}|\leq 1</math>. Diese Ungleichungen gelten aber nur für [[Reelle Zahl|reelle]] [[Funktion (Mathematik)|Argumente]] <math>\alpha</math>; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

=== Verlauf des Sinus in den vier Quadranten ===
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

{| class="wikitable"
|--class="hintergrundfarbe8"
![[Quadrant]]
![[Gradmaß]]
![[Bogenmaß]]
![[Bildmenge]]
![[Reelle monotone Funktion|Monotonie]]
![[Konvexe und konkave Funktionen|Konvexität]]
!|Punkttyp
|-
|
|<math>0^\circ</math>
|0
|0
|
|
|[[Nullstelle]], [[Wendepunkt]]
|-
|1. Quadrant
|<math>0^\circ<x<90^\circ</math>
|<math>0<x< \pi/2 </math>
|positiv: <math>0<\sin x<1</math>
|steigend
|konkav
|
|-
|
|<math>90^\circ</math>
|<math>\pi/2</math>
|1
|
|
|[[Extremwert|Maximum]]
|-
|2. Quadrant
|<math>90^\circ<x<180^\circ</math>
|<math>\pi/2<x<\pi</math>
|positiv: <math>0<\sin x<1</math>
|fallend
|konkav
|
|-
|
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|0
|
|
|[[Nullstelle]], [[Wendepunkt]]
|-
|3. Quadrant
|<math>180^\circ<x<270^\circ</math>
|<math>\pi<x<3\pi/2</math>
|negativ:<math>-1<\sin x<0</math>
|fallend
|konvex
|
|-
|
|<math>270^\circ</math>
|<math>3\pi/2</math>
|<math>-1</math>
|
|
|[[Extremwert|Minimum]]
|-
|4. Quadrant
|<math>270^\circ<x<360^\circ</math>
|<math>3\pi/2<x<2\pi</math>
|negativ: <math>-1<\sin x<0</math>
|steigend
|konvex
|
|}

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus [[Periodizität (Mathematik)|periodisch]] mit der Periode 360° (bzw. 2π [[Radiant (Einheit)|rad]]) ist, d.&nbsp;h. <math>\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)</math>. Außerdem gilt <math>\sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha)</math>, <math>\sin(90^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)</math> , <math>\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)</math> etc.

=== Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten ===
Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 [[Radiant (Einheit)|rad]]) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt <math>\cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ)</math>.

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

{| class="wikitable"
|--class="hintergrundfarbe8"
![[Quadrant]]
![[Gradmaß]]
![[Bogenmaß]]
![[Bildmenge]]
![[reelle monotone Funktion|Monotonie]]
![[Konvexe und konkave Funktionen|Konvexität]]
!Punkttyp
|-
|
|<math>0^\circ</math>
|0
|1
|
|
|[[Extremwert|Maximum]]
|-
|1. Quadrant
|<math>0^\circ<x<90^\circ</math>
|<math>0<x<\pi/2</math>
|positiv: <math>0<\cos x<1</math>
|fallend
|konkav
|
|-
|
|<math>90^\circ</math>
|<math>\pi/2</math>
|0
|
|
|[[Nullstelle]], [[Wendepunkt]]
|-
|2. Quadrant
|<math>90^\circ<x<180^\circ</math>
|<math>\pi/2<x<\pi</math>
|negativ: <math>-1<\cos x<0</math>
|fallend
|konvex
|
|-
|
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|<math>-1</math>
|
|
|[[Extremwert|Minimum]]
|-
|3. Quadrant
|<math>180^\circ<x<270^\circ</math>
|<math>\pi<x<3\pi/2</math>
|negativ: <math>-1<\cos x<0</math>
|steigend
|konvex
|
|-
|
|<math>270^\circ</math>
|<math>3\pi/2</math>
|<math>0</math>
|
|
|[[Nullstelle]], [[Wendepunkt]]
|-
|4. Quadrant
|<math>270^\circ<x<360^\circ</math>
|<math>3\pi/2<x<2\pi</math>
|positiv: <math>0<\cos x<1</math>
|steigend
|konkav
|
|}

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – [[Periodische Funktion|periodisch]] mit der Periode 360° (bzw. 2π [[Radiant (Einheit)|rad]]) bestimmen, d.&nbsp;h. <math>\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha)</math>. Außerdem gilt <math>\cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos(\alpha)</math>.

=== Komplexes Argument ===
[[Datei:Complex sin.jpg|miniatur|Graph der komplexen Sinusfunktion]]
[[Datei:Complex cos.jpg|miniatur|Graph der komplexen Kosinusfunktion]]
[[Datei:complex coloring.jpg|mini|Farbfunktion, die für die beiden obigen Bilder verwendet wurde.]]

Für [[komplexe Zahl|komplexe Argumente]] kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln 
:<math>\sin z = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}z} \right)</math>
:<math>\cos z = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}z} \right)</math>
definieren.

Für komplexe Argumente <math>z=x+\mathrm{i}\cdot{y}</math> gilt
:<math>\sin\left(z\right)=\sin\left(x+\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\sin\left(x\right)\cosh\left(y\right)+\mathrm{i}\cos\left(x\right)\sinh\left(y\right)</math>
und
: <math>\cos\left(z\right)=\cos\left(x+\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\cos\left(x\right)\cosh\left(y\right)-\mathrm{i}\sin\left(x\right)\sinh\left(y\right)</math>,
was aus den [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]] und den Zusammenhängen <math>\sin\left(\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\mathrm{i}\cdot{\sinh\left(y\right)}</math> sowie <math>\cos\left(\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\cosh\left(y\right)</math> hergeleitet werden kann, wobei <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> die [[Hyperbelfunktion]]en [[Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus|Sinus und Cosinus Hyperbolicus]] bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1, 1]</math> beschränkt; im [[Definitionsbereich]] der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel ist
:<math>\cos\left(\mathrm{i}\right)=\cosh\left(1\right)=\frac{e^1+e^{-1}}{2}\approx 1{,}54.</math>
Für reelle <math>x</math> nimmt <math>\cos(x)</math> diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in <math>x</math>-Richtung vorliegt (nicht aber in <math>y</math>-Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um <math>\pi/2</math> auseinander hervorgehen.

=== Wichtige Funktionswerte ===
Da Sinus und Kosinus [[Periodische Funktion|periodische Funktionen]] mit der Periode <math>2 \pi</math> (entspricht im Gradmaß <math>360^\circ</math>) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich <math>[0,2\pi]</math> (entspricht dem Bereich <math>0^\circ</math> bis <math>360^\circ</math>) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
:<math>\sin(x) = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + 2k \pi)</math>
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
:<math>\sin(x) = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.</math>

Hierbei bezeichnet <math>k \in \Z</math> eine [[ganze Zahl]]. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.<ref>{{Literatur
| Autor  = Georg Hoever
| Titel  = Höhere Mathematik kompakt
| Verlag = Springer Spektrum
| Ort    = Berlin Heidelberg
| Jahr   = 2014
| ISBN   = 978-3662439944
| Online =
  {{Google Buch
  | BuchID   = jQnvAwAAQBAJ
  | Seite    = 25
  }}
}}</ref>

{| class="wikitable"
!Winkel (Grad)
!Bogenmaß
!Sinus
!Kosinus
|--
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac12\sqrt0 = 0</math>
|<math>\frac12\sqrt4 = 1</math>
|--
|<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{6}</math>
|<math>\frac12\sqrt1 = \frac12</math>
|<math>\frac12\sqrt3</math>
|--
|<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{4}</math>
|<math>\frac12\sqrt2=\frac{1}{\sqrt2}</math>
|<math>\frac12\sqrt2=\frac{1}{\sqrt2}</math>
|-
|<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
|<math>\frac12\sqrt3</math>
|<math>\frac12\sqrt1 = \frac12</math>
|-
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\frac12\sqrt4 = 1</math>
|<math>\frac12\sqrt0 = 0</math>
|-
|}
Weitere wichtige Werte sind:
{| class="wikitable"
!Winkel (Grad)
!Bogenmaß
!Sinus
!Kosinus
|--
|<math>15^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{12}</math>
|<math>\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})</math>
|<math>\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})</math>
|-
|<math>18^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{10}</math>
|<math>\tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)</math>
|<math>\tfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}</math>
|-
|<math>36^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{5}</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)</math>
|-
|<math>54^\circ</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}</math>
|-
|<math>72^\circ</math>
|<math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}}</math>
|<math>\tfrac{1}{4} \left (\sqrt{5}-1 \right)</math>
|-
|<math>75^\circ</math>
|<math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
|<math>\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})</math>
|<math>\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})</math>
|-
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|<math> 0</math>
|<math>-1</math>
|-
|<math>270^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{2}</math>
|<math>-1</math>
|<math> 0</math>
|-
|<math>360^\circ</math>
|<math>2\pi</math>
|<math>0</math>
|<math> 1</math>
|}

Beweisskizzen:
* <math>\cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)=\tfrac12\sqrt2</math>, weil das [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreieck]] im [[Einheitskreis]] (mit der [[Hypotenuse]] 1) dann [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] ist, und nach [[Satz des Pythagoras|Pythagoras]] gilt <math>x^2+x^2=1^2 \Rightarrow x=\tfrac12\sqrt2</math>.
* <math>\cos(60^\circ)=\sin(30^\circ)=\tfrac12</math>, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der <math>x</math>-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die [[Gegenkathete]] (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
* <math>\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ)=\tfrac12\sqrt3</math>, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen <math>\sin(30^\circ)=\tfrac12</math> für den Cosinus nach Pythagoras gilt <math>x^2+\left(\tfrac12\right)^2=1^2 \ \Rightarrow \ x^2=\tfrac34 \ \Rightarrow \ x = \tfrac12\sqrt3</math>.
* <math>\cos(72^\circ)=\sin(18^\circ)=\tfrac14(\sqrt5-1)</math>, weil im [[Pentagramm]] das Inverse des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitts]] auftritt, wobei der halbierte [[Winkel]] in den Spitzen gleich 18° ist.
* <math>\cos(36^\circ)=\sin(54^\circ)=\tfrac14(1+\sqrt5)</math>, weil im [[Regelmäßiges Fünfeck|regelmäßigen Fünfeck]] der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] auftritt, wobei der halbierte [[Innenwinkel]] gleich 54° ist.
* <math>\cos(75^\circ)=\sin(15^\circ)</math> und <math>\cos(15^\circ)=\sin(75^\circ)</math> lassen sich mit Hilfe der [[Halbwinkelformeln]] für Sinus und Kosinus herleiten.

=== Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte ===
Über die [[Einheitswurzel#Die fünften Einheitswurzeln|Berechnung der fünften Einheitswurzeln]] mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich

:<math>\sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>.

Mit Hilfe der [[Sinus und Kosinus#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die [[Fünfeck#Seitenlänge|Seitenlänge eines regulären Fünfecks]] über

:<math>\cos(54^\circ)=\sin(2\cdot18^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}</math>

und <math>\sin(15^\circ)</math>, woraus folgt

:<math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)</math>.

Aus <math>\sin(18^\circ)</math> und <math>\sin(15^\circ)</math> lassen sich dann z.&nbsp;B. <math>\sin(3^\circ)</math> und dann rekursiv auch alle <math>\sin(k \cdot 3^\circ)</math>, <math>k\in\Z\;</math> ermitteln.

Generell gilt, dass <math>\sin\alpha\;</math> und <math>\cos\alpha\;</math> genau dann explizit mit den vier [[Grundrechenart]]en und [[Quadratwurzel]]n darstellbar sind, wenn der Winkel <math>\alpha\;</math> mit [[Euklidische Werkzeuge|Zirkel und Lineal]] konstruierbar ist, insbesondere also wenn <math>\alpha\;</math> von der Gestalt

:<math>\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}</math>

ist, wobei <math>k\in\Z\;</math>, <math>n\in\N_0\;</math> und die <math>p_i\;</math> für <math>i=1,\dots,r\;</math> [[Fermat-Zahl#Fermatsche Primzahlen|Fermatsche Primzahlen]] sind.<ref>[[Emil Artin]]: ''Galoissche Theorie.'' Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S.&nbsp;85.</ref> In obigem Beispiel von <math>\alpha=3^\circ</math> ist <math>k=1\;</math> und der Nenner gleich <math>120=2^3\cdot 3\cdot 5.</math>

=== Fixpunkte ===
[[Datei:Dottie number.svg|miniatur|hochkant=1.5|Fixpunkt der Kosinusfunktion]]
Die [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunktgleichung]] <math>\sin(x) = x</math> besitzt

:<math>x = 0</math>

als einzige reelle Lösung.

Die Gleichung <math>\cos(x) = x</math> hat als einzige reelle Lösung

:<math>x = 0{,}73908513321516\ldots</math> &nbsp; ({{OEIS|A003957}}).

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von [[Leonhard Euler]] untersucht.<ref>{{Literatur |Autor=[[Leonhard Euler]] |Titel=Introductio in analysin infinitorum |Band=Band 2 |Verlag=Marc Michel Bousquet |Ort=Lausanne |Datum=1748 |Seiten=306–308}}</ref> Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global [[Attraktor|attraktiven]] Fixpunkt, das heißt die [[Fixpunktiteration]] <math>x_{n+1} = \cos(x_n)</math> konvergiert für jeden Startwert <math>x_0</math> gegen die Lösung. Mit dem [[Satz von Lindemann-Weierstraß]] kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine [[transzendente Zahl]] handelt. Diese [[mathematische Konstante]] wird im englischen Sprachraum auch als ''Dottie number'' bezeichnet und mit dem [[Armenisches Alphabet|armenischen Buchstaben]] ա ([[Ա|Ayb]]) abgekürzt.<ref>{{MathWorld|title=Dottie number|id=DottieNumber}}</ref>

== Berechnung ==
Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten [[Hardware]] wie zum Beispiel [[Mikrocontroller]]:

* Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
* Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsverfahren]]
* Berechnung mit dem [[CORDIC]]-Algorithmus
* Verwendung der [[#Motivation durch Taylorreihen|Taylor-Reihe]]
* schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der [[Zwölftel-Regel]]

Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen [[Echtzeitsystem]]en, wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i.&nbsp;d.&nbsp;R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser [[Kondition (Mathematik)|konditioniert]].

== Umkehrfunktion ==
{{Hauptartikel|Arkussinus und Arkuskosinus}}

Da sich zu einem gegebenen Wert <math>\sin\alpha\in [-1,1]</math> ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert <math>\cos\alpha\in [-1,1]</math> ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen
:<math>\begin{align}
\sin \colon &[-90^\circ, 90^\circ]&\to[-1,1]\\
\cos \colon &[0^\circ, 180^\circ]&\to[-1,1]
\end{align}</math>
[[Umkehrfunktion]]en besitzen. Die Umkehrfunktionen
:<math>\begin{align}
\arcsin\colon [-1,1] &\to [-90^\circ, 90^\circ] \\
\arccos\colon [-1,1] &\to [0^\circ, 180^\circ]
\end{align}</math>
werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als [[Länge (Mathematik)|Länge]] eines [[Kreisbogen]]s (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes erforderlich, da die Winkelfunktionen dort für das Bogenmaß definiert sind.
Die Sinusfunktion
:<math>\sin\colon \left[-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\right]\to[-1,1]</math>
und die Kosinusfunktion
:<math>\cos\colon [0, \pi]\to[-1,1]</math>
sind auf den angegebenen Definitionsbereichen [[Streng monotone Funktion|streng monoton]], [[surjektiv]] und daher [[Umkehrfunktion|invertierbar]].
Die Umkehrfunktionen sind
:<math>\begin{align}
\arcsin\colon [-1,1] &\to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2} \right] \\
\arccos\colon [-1,1] &\to \left[0, \pi \right]
\end{align}</math>
Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter [[Flächeninhalt]] des dazugehörigen [[Kreissektor]]s am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]] nützlich.

== Zusammenhang mit dem Skalarprodukt ==
Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem [[Standardskalarprodukt]] zweier [[Vektor]]en <math>\vec{a}=\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right)</math> und <math>\vec{b}=\left( b_1, b_2, \dots, b_n \right)</math>:

:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \, | \vec{b} | \, \cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b})= {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+\dots + {a_n}{b_n}</math>

das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem [[Kosinussatz]] ableiten. In abstrakten [[Prähilbertraum|Skalarprodukträumen]] wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

== Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt ==
{{Hauptartikel|Kreuzprodukt}}

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt
zweier dreidimensionaler [[Vektor]]en <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math>:
:<math>|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}| \, | \vec{b} | \, \sin \measuredangle (\vec{a},\vec{b}) </math>

== Additionstheoreme ==
{{Hauptartikel|Additionstheoreme (Trigonometrie)}}

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten
:<math> \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y </math>
:<math> \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y </math>
Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel
:<math> \sin (2x)= 2 \sin x \; \cos x </math>
:<math> \cos (2x)= \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 </math>

== Orthogonale Zerlegung ==
Die harmonische Schwingung
:<math>a(x)=\sqrt{2}A\sin(x+\varphi_a)</math>
wird durch
:<math> a(x)=\frac{1}{B^2}\overline{a(x)b(x)}\cdot b(x) + \frac{1}{B^2}\overline{a(x)b'(x)}\cdot b'(x)</math>
in [[Orthogonalit%C3%A4t#Orthogonale Funktionen|orthogonale]] Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung
:<math>b(x)=\sqrt{2}B\sin(x+\varphi_b)</math>
zerlegt.
<math>A</math> und <math>B</math> sind [[Effektivwert]]e, <math>\varphi_a</math> und <math>\varphi_b</math> [[Nullphasenwinkel]]. Ihre Differenz
:<math>\varphi=\varphi_a-\varphi_b</math>
heißt [[Phasenverschiebungswinkel]]. Die Ableitung der Basisfunktion
:<math>b'(x)=\frac{\text{d}b(x)}{\text{d}x}</math>
läuft <math>b(x)</math> um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen [[Gleichwert#Gleichwert bei periodischen Vorg%C3%A4ngen| Gleichwerte]] folgen aus einer modifizierten [[Fourier-Analyse]], bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern <math>b(x)</math> und <math>b'(x)</math> als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich
:<math> a(x)=\frac{A}{B}\cos\varphi \cdot b(x) + \frac{A}{B}\sin\varphi\cdot b'(x)</math>.
Die Zerlegung gilt auch bei Ansatz von <math>a(x)</math> und <math>b(x)</math> mit der Kosinusfunktion.

== Ableitung, Integration und Krümmung von Sinus und Kosinus ==
=== Ableitung ===
Wird <math>x\;</math> im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion<ref>[[b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion|Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion]]</ref>

:<math>\sin^\prime(x) = \cos(x)</math>

Aus <math>\cos(x)=\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)</math> und der [[Kettenregel]] erhält man die Ableitung des Kosinus:

:<math>\cos^\prime(x) = -\sin(x)</math>

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

:<math>\sin^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix}
 \sin (x), & \text{wenn } k=0 \\
 \cos (x), & \text{wenn } k=1 \\
-\sin (x), & \text{wenn } k=2 \\
-\cos (x), & \text{wenn } k=3 \end{matrix}\right.</math>

:<math>\cos^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix}
 \cos (x), & \text{wenn } k=0 \\
-\sin (x), & \text{wenn } k=1 \\
-\cos (x), & \text{wenn } k=2 \\
 \sin (x), & \text{wenn } k=3 \end{matrix}\right.</math>

Wird der Winkel <math>\alpha</math> in Grad gemessen, so kommt nach der [[Kettenregel]] bei jeder Ableitung ein Faktor <math>\tfrac{\pi}{180^\circ}</math> dazu, also beispielsweise <math>\sin^{\prime}(\alpha)=\tfrac{\pi}{180^\circ}\cos(\alpha)</math>. Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der [[Analysis]] der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.

=== Stammfunktion ===
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die [[Stammfunktion]] von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:
:<math>\int\sin(x)\,\mathrm{d}x=-\cos(x)+C</math>
:<math>\int\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)+C</math>

=== Krümmung ===
Die [[Krümmung]] des [[Funktionsgraph|Graphen]] wird mit Hilfe der Formel

:<math>\kappa(x) = \frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}</math>

berechnet. Für <math>f(x)=\sin(x)</math> erhält man damit die Krümmungsfunktion

:<math>\kappa(x) = -\frac{\sin(x)}{\left(1 + \cos^2(x)\right)^{3/2}}</math>.

und für <math>f(x)=\cos(x)</math> entsprechend

:<math>\kappa(x) = -\frac{\cos(x)}{\left(1 + \sin^2(x)\right)^{3/2}}</math>.

An den [[Wendepunkt]]en ist die Krümmung gleich null. Dort hat die Krümmungsfunktion einen Vorzeichenwechsel. An der Stelle des Maximums ist die Krümmung gleich −1 und an der Stelle des Minimums gleich 1. Der [[Krümmungskreis]] hat an den [[Extrempunkt]]em also jeweils den [[Radius]] 1.

== Anwendungen ==
=== Geometrische Anwendungen ===
[[Datei:Sinussatz Beispiel.svg|right|mini|Skizze zum Beispiel]]

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von <math>h_c</math> im Dreieck ''ABC'' bei gegebener Länge <math>a=5{,}4</math> und Winkel <math>\beta=42^\circ</math>:

:<math>\begin{align}
\frac{h_c}{a} &= \sin(\beta)\\
h_c &= a\cdot \sin(\beta)\\
h_c &= 5{,}4 \cdot \sin (42^\circ) \approx 3{,}613
\end{align}</math>

Andere wichtige Anwendungen sind der [[Sinussatz]] und der [[Kosinussatz]].

=== Fourierreihen ===
Im [[Hilbertraum]] <math>L^2 [-\pi,\pi]</math> der auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-\pi,\pi]</math> bezüglich des [[Lebesgue-Maß]]es [[Quadratintegrabel|quadratisch integrierbaren]] Funktionen bilden die Funktionen
:<math>1, \cos nx, \sin nx \quad n = 1, 2, \dotsc</math>
ein vollständiges [[Orthogonalsystem]], das sogenannte ''trigonometrische System.'' Daher lassen sich alle Funktionen <math>f\in L^2[-\pi,\pi]</math> als [[Fourierreihe]]
:<math>S_n(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos kx + b_k \sin kx)</math>
darstellen, wobei die [[Funktionenfolge]] <math>S_n(x)</math> in der [[Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L''<sup>2</sup>-Norm]] gegen <math>f(x)</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]].

=== Anwendungen in der Informatik ===
In der [[Informatik]] wird zur Erstellung von [[Audiodatei]]en (zum Beispiel im [[Audioformat]] [[MP3]])<ref>Joebert S. Jacaba: [https://www.mp3-tech.org/programmer/docs/jacaba_main.pdf AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD]</ref>, [[Digitales Bild|digitalen Bildern]] im [[Grafikformat]] [[JPEG]]<ref>International Telecommunication Union: [https://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES]</ref>, Videodateien (zum Beispiel im [[Containerformat]] [[MP4]] oder [[WebM]]) die [[diskrete Kosinustransformation]] oder die [[modifizierte diskrete Kosinustransformation]] verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die [[Umkehrfunktion]] verwendet.<ref>ITwissen, Klaus Lipinski: [https://www.media-schmid.de/downloads/videokompression.pdf Videokompression]</ref> Bei der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Verarbeitung]] von [[Akustik|akustischen]] und [[Optik|optischen]] Signalen wird unter anderem die [[Schnelle Fourier-Transformation]] verwendet.<ref>Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: [https://www.fim.uni-passau.de/fileadmin/files/lehrstuhl/sauer/geyer/DigiSig.pdf Digitale Signalverarbeitung]</ref>

=== Physikalische Anwendungen ===
In der [[Physik]] werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von [[Schwingung]]en verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten [[Fourierreihe]]n beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe [[Fourieranalyse]].

=== Elektrotechnische Anwendungen ===
[[Datei:Leistung-PQS-Zeiger.svg|mini| Leistungszeigerdiagramm und Phasenverschiebungswinkel bei sinusförmigen Spannungen und Strömen in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]]]

In der [[Elektrotechnik]] sind häufig elektrische [[Stromstärke]] <math>I</math> und [[Elektrische Spannung|Spannung]] <math>U</math> sinusförmig. Wenn sie sich um einen [[Phasenverschiebungswinkel]]&nbsp;<math>\varphi</math> unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete [[Scheinleistung]] <math>S</math> von der [[Wirkleistung]]&nbsp;<math>P</math>.
:<math>S=U\cdot I \quad ;\quad P=U\cdot I\cdot \cos \varphi</math>

Bei nicht sinusförmigen Größen (z.&nbsp;B. bei einem [[Netzteil]] mit herkömmlichem [[Brückengleichrichter]] am Eingang) entstehen [[Oberschwingungen]], bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein [[Leistungsfaktor]] angeben
:<math>\text{Leistungsfaktor }\lambda = \frac{|P|}S\quad,</math>
dieser Leistungsfaktor <math>\lambda</math> darf aber mit <math>\cos(\varphi)</math> nicht verwechselt werden.

== Siehe auch ==
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen|Trigonometrische Funktion]]
* [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]
* [[Sinuston]]

== Literatur ==
* I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]].'' 19. Auflage. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
* Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis I. Eine integrierte Darstellung.'' 7. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 1.'' 6. Auflage. Teubner, 1989.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus}}
{{Wikibooks| Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion|Differentiation der Sinusfunktion}}
{{Wikiversity|Sinus und Kosinus}}
{{Wiktionary|Kosinus}}
{{Wiktionary|Sinus}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]