Quelltext der Seite Varianz (Stochastik)

{{Dieser Artikel|behandelt die Varianz als Kenngröße der Verteilung einer reellen Zufallsvariable. Für die Varianz einer Stichprobe siehe [[Empirische Varianz|Stichprobenvarianz]], weitere Bedeutungen finden sich unter [[Varianz]].}}

[[Datei:Variance various.svg|mini|hochkant=1.6|[[Dichtefunktion]]en zweier [[Normalverteilung|normalverteilter]] [[Zufallsvariable]]n <math>X</math> und <math>Y</math> mit gleichem [[Erwartungswert]] <math>\mu_X=\mu_Y= 0</math>, aber unterschiedlichen Varianzen. Die waagerechte Achse zeigt den Wert, die senkrechte die Häufigkeit. Da die rote Kurve <math>f(x)</math> schmaler um den Erwartungswert verläuft als die grüne <math>f(y)</math>, weist sie eine geringere Varianz auf (<math>\sigma_X^2<\sigma_Y^2</math>). Die Quadratwurzel der Varianz, die Standardabweichung, kann bei der Normalverteilung an den [[Wendepunkt]]en abgelesen werden.]]

Die '''Varianz''' ({{laS}} ''variantia'' für „Verschiedenheit“), veraltet auch ''Dispersion'' (lat. ''dispersio'' „Zerstreuung“, von ''dispergere'' „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder ''Streuungsquadrat'', ist ein Maß für die [[Streuung (Statistik)|Streuung]] der Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt und kann physikalisch als [[Trägheitsmoment]] interpretiert werden. Mathematisch stellt die Varianz das '''[[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrale Moment]] zweiter Ordnung''' einer Zufallsvariablen dar. Sie wird definiert als die ''mittlere quadratische Abweichung'' einer reellen [[Zufallsvariable]]n von ihrem [[Erwartungswert]]. Sie ist das [[Quadratische Funktion|Quadrat]] der '''Standardabweichung''', des wichtigsten [[Dispersionsmaß (Stochastik)|Streuungsmaß]]es in der [[Stochastik]]. 

Die Varianz ist niemals negativ und ändert sich nicht bei Verschiebung der Verteilung. Die Varianz einer [[Summe]] [[unkorreliert]]er Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen. Ein Nachteil der Varianz für praktische Anwendungen ist, dass sie im Unterschied zur Standardabweichung eine andere [[Maßeinheit|Einheit]] als die Zufallsvariable besitzt. Da sie über ein [[Integralrechnung|Integral]] definiert wird, existiert sie nicht für alle Verteilungen, d. h., sie kann auch [[Unendlich (Mathematik)|unendlich]] sein. Die Varianz kann mit einem [[Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit|Varianzschätzer]], z. B. der [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]], [[Schätzmethode (Statistik)|geschätzt]] werden.

Eine Verallgemeinerung der Varianz ist die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]]. Im Unterschied zur Varianz, die die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, ist die Kovarianz ein Maß für die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Aus dieser Definition der Kovarianz folgt, dass die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst gleich der Varianz dieser Zufallsvariablen ist. Im Falle eines reellen [[Zufallsvektor]]s kann die Varianz zur [[Varianz-Kovarianz-Matrix]] verallgemeinert werden. Die Bezeichnung „Varianz“ wurde vor allem von dem britischen Statistiker [[Ronald Fisher]] (1890–1962) geprägt.

== Einführung in die Problemstellung ==
Als Ausgangspunkt für die Konstruktion der Varianz betrachtet man eine beliebige Größe, die vom Zufall abhängig ist und somit unterschiedliche Werte annehmen kann. Diese Größe, die im Folgenden mit <math>X</math> bezeichnet wird, folgt einer bestimmten [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]]. Der [[Erwartungswert]] dieser Größe wird mit

:<math>\mu := \mathbb E(X)</math>

abgekürzt.<ref group="A">Bei einer [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrischen Verteilung]] mit dem ''Symmetriezentrum'' <math>x_0</math> gilt: <math>\mu = \mathbb E(X) = x_0</math>.</ref> Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable <math>X</math> im Mittel annimmt. Er kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden (siehe auch Abschnitt [[#Interpretation|Interpretation]]) und gibt ihre Lage wieder. Um eine Verteilung ausreichend zu charakterisieren, fehlt jedoch eine Größe, die als Kennzahl Auskunft über die Stärke der Streuung einer Verteilung um ihren Schwerpunkt gibt.<ref>Norbert Henze: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' 2016, S. 160.</ref> Diese Größe sollte stets größer als Null sein, da sich negative Streuung nicht sinnvoll interpretieren lässt. Ein erster naheliegender Ansatz wäre, die ''[[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]]'' der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert heranzuziehen:<ref>[[Ludwig von Auer]]: ''Ökonometrie. Eine Einführung.'' Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013, S.&nbsp;28.</ref>

:<math>\mathbb E\left(|X-\mu|\right)</math>.

Da die in der Definition der mittleren absoluten Abweichung verwendete [[Betragsfunktion]] nicht überall differenzierbar ist und ansonsten in der Statistik für gewöhnlich [[Quadratsumme]]n benutzt werden,<ref>Volker Heun: ''Grundlegende Algorithmen: Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen.'' 2. Auflage. 2003, S. 108.</ref><ref>Gerhard Hübner: ''Stochastik: Eine Anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker.'' 3. Auflage, 2002, S. 103.</ref> ist es sinnvoll, statt der mittleren absoluten Abweichung die ''mittlere quadratische Abweichung'', also die ''Varianz'', zu benutzen.<ref group="A">Weitere Vorteile des Quadrierens sind zum einen, dass kleine Abweichungen weniger stark gewichtet werden als große Abweichungen, und zum anderen, dass die erste Ableitung eine lineare Funktion ist, was bei Optimierungsüberlegungen von Vorteil ist.</ref>

== Definition ==
Sei <math>X</math> eine [[Lebesgue-Integral|''P''-integrierbare]] [[Zufallsvariable]] von einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> nach <math>(\overline{\R},\mathcal{B})</math>, wobei <math>\mathcal{B}</math> die [[Borelsche σ-Algebra]] über <math>\overline{\R}:=\R\cup\{-\infty,\infty\}</math> ist, das heißt, es gilt <math>\mathbb E(|X|)< \infty </math>. Unter dieser Voraussetzung existiert ihr [[Erwartungswert]] <math>\mathbb E(X)=\mu</math>. Die ''Varianz von <math>X</math>'' ist definiert als der Erwartungswert der [[Zentrierung (Statistik)|zentrierten]] und quadrierten Zufallsvariablen <math>Y=\left(X-\mu\right)^2 </math>

:<math>\operatorname{Var}(X) := \mathbb E\left((X-\mu)^2\right)= \int_\Omega (X-\mu)^2 \,\mathrm{d}P</math><ref name="Billingsley">Patrick Billingsley: ''Probability and Measure'', 3. Aufl., Wiley, 1995, S. 274ff</ref>

Für die Varianz gilt <math>\operatorname{Var}(X)\geq 0</math>. Falls <math>X</math> quadratisch integrierbar ist, also <math>\mathbb E(|X|^2) < \infty</math> gilt, so ist die Varianz endlich. Es gibt Verteilungen wie die [[Cauchy-Verteilung]], für die die Varianz nicht existiert.

Die Varianz wird auch als <math>\operatorname{V}(X)</math><ref group="A">Die Verwendung des Varianz[[Operator (Mathematik)|operators]] <math>\operatorname{Var}(\cdot)</math> hebt die Berechnungsoperationen hervor, und mit ihm lässt sich die Gültigkeit bestimmter Rechenoperationen besser ausdrücken.</ref> oder <math>\sigma_X^2</math> notiert. Besteht keine Verwechslungsgefahr, wird sie einfach als <math>\sigma^2</math> (lies: ''Sigma Quadrat'') notiert. Da die Varianz vor allem in älterer Literatur auch als ''Dispersion'' beziehungsweise ''Streuung'' bezeichnet wurde,<ref>Otfried Beyer, Horst Hackel: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 1976, S. 53.</ref><ref>Brockhaus: ''Brockhaus, Naturwissenschaften und Technik – Sonderausgabe.'' 1989, S. 188.</ref> findet sich auch häufig die Notation <math>D^2(X)</math>.<ref>Lothar Papula: ''Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.'' Band 3: ''Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung.'' 1994, S. 338.</ref> Die Notation mit dem Quadrat des griechischen Buchstaben [[Sigma]] <math>\sigma</math> rührt daher, dass die Berechnung der Varianz der [[Dichtefunktion]] einer [[Normalverteilung]] genau dem Parameter <math>\sigma^2</math> der Normalverteilung entspricht. Da die Normalverteilung in der Stochastik eine sehr wichtige Rolle spielt, wird die Varianz im Allgemeinen mit <math>\sigma^2</math> notiert (siehe auch Abschnitt [[#Varianzen spezieller Verteilungen|Varianzen spezieller Verteilungen]]). Des Weiteren wird in der [[Statistik]] und insbesondere in der [[Regressionsanalyse]] das Symbol <math>\sigma^2</math> dazu benutzt, um die [[Wahrer Wert|wahre]] [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen|unbekannte Varianz der Störgrößen]] zu kennzeichnen.

=== Varianz bei diskreten Zufallsvariablen ===
Eine Zufallsvariable <math>X</math> mit einem endlichen oder [[Abzählbarkeit|abzählbar unendlichen]] [[Träger (Maßtheorie)|Wertebereich]] <math>\mathcal T = \{x_1,x_2,\dotsc,x_k,\dotsc\}</math><ref group="A">Mit der Bezeichnung „Träger“ und dem Zeichen <math>\mathcal T</math> bezeichnet man die Menge aller möglichen Ausprägungen beziehungsweise [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] einer Zufallsvariablen.</ref> wird ''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskret]]'' genannt. Ihre Varianz berechnet sich dann als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate (vom Erwartungswert):
:<math>\sigma^2 = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2+ \ldots +(x_k - \mu)^2 p_k+ \ldots = \sum_{i \geq 1}(x_i - \mu)^2 p_i</math>.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;231.</ref>
Hierbei ist <math>p_i=P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass <math>X</math> den Wert <math>x_i</math> annimmt. Es wird in obiger Summe also jede mögliche Ausprägung <math>(x_i - \mu)^2</math> mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens <math>p_i</math> gewichtet.<ref>Von Auer: ''Ökonometrie. Eine Einführung.'' 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40209-8, S. 29.</ref> Die Varianz ist bei diskreten Zufallsvariablen also eine [[gewichtete Summe]] mit den Gewichten <math>p_i \; (i=1,\ldots,n)</math>. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable <math>X</math> stellt ebenfalls eine gewichtete Summe dar, die durch
:<math>\mu = x_1 p_1+x_2 p_2+ \ldots +x_k p_k+ \ldots=\sum_{i \geq 1} x_i p_i</math>
gegeben ist. Die Summen erstrecken sich jeweils über alle Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann. Im Falle eines abzählbar unendlichen Wertebereichs ergibt sich eine [[unendliche Summe]]. In Worten berechnet sich die Varianz, im diskreten Fall, als Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten der [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] der Zufallsvariablen <math>X</math> mit der jeweiligen quadrierten Abweichung.

=== Varianz bei stetigen Zufallsvariablen ===
Eine Zufallsvariable <math>X</math> wird als ''stetig'' bezeichnet, wenn es eine [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (kurz: ''Dichte'') <math>f(x) \geq 0, \; -\infty < x < \infty </math> derart gibt, dass sich die [[Verteilungsfunktion]] <math>F(t) =P(X<t)</math> für alle reellen <math>t</math> in der Form <math>F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x) \,\mathrm{d}x</math> darstellen lässt. Für stetige Zufallsvariablen verwendet man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, um Wahrscheinlichkeiten über einem Intervall zu berechnen. Für die Varianz einer stetigen Zufallsvariable <math>X</math> gilt
:<math>\sigma^2\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x\quad</math>, wobei ihr Erwartungswert gegeben ist durch <math>\quad\mu\ = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, \mathrm{d}x</math>.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;283.</ref>

Die Varianz berechnet sich im stetigen Fall als das [[Integralrechnung|Integral]] über das Produkt der quadrierten Abweichung und der Dichtefunktion der Verteilung. Es wird also über den Raum aller möglichen Ausprägungen (möglicher Wert eines statistischen Merkmals) integriert.

== Geschichte ==
[[Datei:Karl Pearson.jpg|mini|hochkant|Karl Pearson]]
[[Datei:Youngronaldfisher2.JPG|mini|hochkant|Ronald Fisher (1913)]]
Das Konzept der Varianz geht auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück. Gauß führte den [[Mittlerer quadratischer Fehler|mittleren quadratischen Fehler]] ein, um zu zeigen, wie sehr ein [[Punktschätzer]] um den zu schätzenden Wert streut. Diese Idee wurde von [[Karl Pearson]], dem Begründer der [[Biometrie]], übernommen. Er ersetzte, für dieselbe Idee, den von Gauß geprägten Begriff ''mittlerer Fehler'' durch seinen Begriff ''Standardabweichung''. Diesen verwendet er im Anschluss in seinen Vorlesungen. Der Gebrauch des griechischen Buchstabens [[Sigma]] für die Standardabweichung wurde von Pearson, erstmals 1894 in seiner Serie von achtzehn Arbeiten mit dem Titel ''Mathematische Beiträge zur Evolutionstheorie'' (Originaltitel: ''Contributions to the Mathematical Theory of Evolution'') eingeführt. Er schrieb dort: „ […] dann wird <math>\sigma</math> seine Standardabweichung (Fehler des mittleren Quadrats)“. Im Jahre 1901 gründete Pearson dann die Zeitschrift [[Biometrika]], die eine wichtige Grundlage der angelsächsischen Schule der Statistik wurde. 

Die Bezeichnung „Varianz“ wurde vom [[Statistiker]] [[Ronald Fisher]] in seinem 1918 veröffentlichtem Aufsatz mit dem Titel ''Die [[Korrelation]] zwischen Verwandten in der Annahme der Mendelschen Vererbung'' (Originaltitel: ''The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance'') eingeführt. Ronald Fisher schreibt:

{{Zitat|Der große Körper der verfügbaren [[Statistik (Funktion)|Statistiken]] zeigt uns, dass die Abweichungen einer [[Biometrie|menschlichen Messung]] von ihrem Mittel sehr genau dem Gesetz der [[Normalverteilung]] der [[Störgröße und Residuum|Störgrößen]] folgen, und, folglich, dass die Variabilität gleichmäßig durch die Standardabweichung gemessen werden kann, die der Quadratwurzel des mittleren quadratischen Fehlers entspricht. Wenn es zwei unabhängige Ursachen der Variabilität gibt, die in der Lage sind, in einer ansonsten gleichmäßigen [[Grundgesamtheit|Populationsverteilung]] die Standardabweichungen <math>\sigma_1</math> and <math>\sigma_2</math> zu produzieren, wird festgestellt, dass die Verteilung, wenn beide Ursachen zusammen interagieren, eine Standardabweichung von, <math>\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}</math> aufweist.  Es ist daher wünschenswert, die Ursachen der Variabilität zu analysieren, um mit dem Quadrat der Standardabweichung als ein Maß für die Variabilität umzugehen. Wir sollten diese Größe die Varianz taufen […]|Quelle=Die Korrelation zwischen Verwandten in der Annahme der mendelschen Vererbung<ref>[[Ronald Aylmer Fisher]]: [http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf ''The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance.''], Trans. Roy. Soc. Edinb. '''52''': 399-433, 1918.</ref>}}

Fisher führte kein neues Symbol ein, sondern benutzte lediglich <math>\sigma^2</math> zur Notation der Varianz. In den folgenden Jahren entwickelte er ein genetisches Modell, das zeigt, dass eine kontinuierliche [[Phänotypische Variation|Variation zwischen phänotypischen Merkmalen]], die von [[Biostatistik]]ern gemessen wurde, durch die kombinierte Wirkung vieler diskreter Gene erzeugt werden kann und somit das Ergebnis einer [[Mendelsche Regeln|mendelschen Vererbung]] ist. Auf diesen Resultaten aufbauend formulierte Fisher dann sein [[Fishers Fundamentales Theorem der natürlichen Selektion|fundamentales Theorem der natürlichen Selektion]], welches die Gesetzmäßigkeiten der Populationsgenetik für die Zunahme der Fitness von Organismen beschreibt. Zusammen mit Pearson entwickelte er u.&nbsp;a. die Grundlagen der Versuchsplanung (1935 erschien ''The Design of Experiments'') und der [[Varianzanalyse]]. Des Weiteren lässt sich die Mehrzahl der biometrischen Methoden auf Pearson und Fisher zurückführen auf deren Grundlage [[Jerzy Neyman]] und [[Egon Pearson]] in den 30er Jahren die allgemeine [[Testtheorie (Statistik)|Testtheorie]] entwickelten.<ref>Lothar Sachs: ''Statistische Auswertungsmethoden.'' 1968,1. Auflage, S. 436.</ref>

== Kenngröße einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ==
{{Hauptartikel|Wahrscheinlichkeitsverteilung}}
Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung beziehungsweise Zufallsvariable kann durch sogenannte [[Wahrscheinlichkeitsmaß#Charakterisierung durch Kennzahlen|Kenngrößen]] (auch Parameter genannt) beschrieben werden, die diese Verteilung charakterisieren. Die Varianz und der Erwartungswert sind die wichtigsten Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie werden bei einer Zufallsvariablen als Zusatzinformationen wie folgt angegeben: <math>X \; \sim \; (\mu,\sigma^2)</math>. In Worten: ''Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt einer (hier nicht näher spezifizierten) Verteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math>''. Für den Fall, dass die Zufallsvariable einer speziellen Verteilung folgt, zum Beispiel einer [[Standardnormalverteilung]], wird dies wie folgt notiert: <math>X \; \sim \; \mathcal{N}(0,1)</math>. Der Erwartungswert von <math>X</math> ist also Null und die Varianz Eins. Weitere wichtige Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung stellen neben den Momenten beispielsweise der [[Median]], der [[Modus (Stochastik)|Modus]] oder [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] dar.<ref>Otfried Beyer, Horst Hackel: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 1976, S. 58.</ref> Die Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechen in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] den [[Parameter (Statistik)|Kenngrößen einer Häufigkeitsverteilung]].

== Tschebyscheffsche Ungleichung ==
{{Hauptartikel|Tschebyscheffsche Ungleichung}}
Mithilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung lässt sich unter Verwendung der existierenden ersten beiden Momente die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, dass die Zufallsvariable <math>X</math> Werte in bestimmten Intervallen der reellen Zahlengeraden annimmt, ohne jedoch die Verteilung von <math>X</math> zu kennen. Sie lautet für eine Zufallsvariable <math>X</math> mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math>:<ref>Otfried Beyer, Horst Hackel: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 1976, S. 101.</ref>

:<math>P\left(\left|X-\mu\right|\geq k\right) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \quad, k>0</math>.

Die Tschebyscheffsche Ungleichung gilt für alle [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrischen]] sowie [[Schiefe (Statistik)|schiefen]] Verteilungen. Sie setzt also keine besondere Verteilungsform voraus. Ein Nachteil der Tschebyscheffschen Ungleichung ist, dass sie nur eine grobe Abschätzung liefert.

== Interpretation ==

=== Physikalische Interpretation ===
Die Varianz ist neben dem Erwartungswert die zweite wichtige Kenngröße der Verteilung einer reellen Zufallsvariable. Das <math>r</math>-te [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrale Moment]] von <math>X</math> ist <math>\mu_r=\mathbb E\left((X-\mu)^r\right)</math>. Wenn <math>r=2</math>, dann wird das zentrale Moment zweiter Ordnung <math>\mu_2=\mathbb E\left((X-\mu)^2\right)</math> ''Varianz der Verteilung von <math>X</math>'' genannt.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S.&nbsp;40.</ref> Der Begriff Moment stammt originär aus der [[Physik]]. Wenn man die möglichen Werte als ''Massepunkte'' mit den ''Massen'' auf der (als gewichtslos angenommenen) reellen Zahlengeraden interpretiert, dann erhält man eine physikalische Interpretation des Erwartungswertes: Das erste Moment, der Erwartungswert, stellt dann den physikalischen Schwerpunkt beziehungsweise [[Massenmittelpunkt]] des so entstehenden Körpers dar.<ref>Hans-Otto Georgii: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik'', ISBN 978-3-11035970-1, S. 102 (abgerufen über [[Verlag Walter de Gruyter|De Gruyter]] Online).</ref>
Die Varianz kann dann als [[Trägheitsmoment]] des ''Massesystems'' bezüglich der [[Rotationsachse]] um den Schwerpunkt interpretiert werden.<ref>Hans-Heinz Wolpers: ''Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II.'' Band 3: ''Didaktik der Stochastik.'' Jahr?, S. 20.</ref> Im Gegensatz zum Erwartungswert, der also die Wahrscheinlichkeitsmasse balanciert, ist die Varianz ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsmasse um ihren Erwartungswert.

=== Interpretation als Abstand ===
Die Interpretation der Varianz einer Zufallsvariablen als ''mittlerer quadrierter Abstand'' lässt sich wie folgt erklären: Der [[Euklidischer Abstand|Abstand]] zwischen zwei Punkten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> auf der reellen [[Zahlengerade]]n ist gegeben durch <math>d=\sqrt{(x_1-x_2)^2}</math>. Wenn man jetzt definiert, dass ein Punkt die Zufallsvariable <math>X</math> ist und der andere <math>\mu=\mathbb E(X)</math>, dann gilt <math>d=\sqrt{(X-\mu)^2}</math>, und der quadrierte Abstand lautet <math>(X-\mu)^2</math>. Folglich wird <math>\mathbb E((X-\mu)^2)</math> als der mittlere quadrierte Abstand zwischen der Realisierung der Zufallsvariablen <math>X</math> und dem Erwartungswert <math>\mathbb E(X)</math> interpretiert, wenn das [[Zufallsexperiment]] unendlich oft wiederholt wird.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S.&nbsp;40.</ref>

=== Interpretation als Maß für Determinismus ===
[[Datei:Normal Distribution PDF.svg|mini|hochkant=1.4|Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Erwartungswerten und Varianzen. Zu sehen ist, dass der Erwartungswert die Lage und Varianz die Breite der Dichtefunktion wiedergibt. Die rote Kurve zeigt die [[Standardnormalverteilung]] <math>\mathcal{N}(0,1)</math> mit Erwartungswert Null und Varianz Eins.]]
Die Varianz beschreibt außerdem die Breite einer Wahrscheinlichkeitsfunktion<ref>W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: ''Statistik für Bachelor- und Masterstudenten.'' Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88986-1, S. 121.</ref> und daher wie „stochastisch“ oder wie „deterministisch“ ein betrachtetes Phänomen ist. Bei einer großen Varianz liegt eher eine stochastische Situation vor und bei einer kleinen Varianz eher eine deterministische.<ref>W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: ''Statistik für Bachelor- und Masterstudenten.'' Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88986-1, S. 123.</ref>
Im Spezialfall einer Varianz von Null liegt eine vollständig deterministische Situation vor. Die Varianz ist genau dann Null, wenn die Zufallsvariable <math>X</math> mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit nur einen bestimmen Wert, nämlich den Erwartungswert, annimmt; wenn also <math>P(X=\mu)=1</math> gilt. Solch eine „Zufallsvariable“ ist eine Konstante, also vollständig deterministisch. Da für eine Zufallsvariable mit dieser Eigenschaft <math>P(X=x)=0</math> für alle <math>x \ne \mu</math> gilt, bezeichnet man ihre Verteilung als „entartet“.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;232.</ref>

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen gilt für stetige Zufallsvariablen stets <math>P(X=x)=0</math> für jedes <math>x \in \R</math>.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;254.</ref> Im stetigen Fall beschreibt die Varianz die Breite einer Dichtefunktion. Die Breite wiederum ist ein Maß für die Unsicherheit, die mit einer Zufallsvariable verbunden ist. Je schmaler die Dichtefunktion ist, desto genauer kann der Wert von <math>X</math> vorhergesagt werden.

== Rechenregeln und Eigenschaften ==
Die Varianz weist eine Fülle nützlicher Eigenschaften auf, welche die Varianz zum wichtigsten Streuungsmaß macht:<ref>Wolfgang Viertl, Reinhard Karl: ''Einführung in die Stochastik: Mit Elementen der Bayes–Statistik und der Analyse unscharfer Information.'' Jahr?, S. 49.</ref>

=== Verschiebungssatz ===

Der Verschiebungssatz ist das stochastische Analogon zum [[Steinerscher Satz|Steinerschen Satz]] zur Berechnung von [[Trägheitsmoment]]en. Es gilt mit <math>\mathbb E(X)=\mu</math> und für beliebiges reelles <math>a</math>:
:<math>\mathbb E\left((X-a)^2\right)=\operatorname{Var}(X)+(\mu -a)^2</math>,
d.&nbsp;h. die [[mittlere quadratische Abweichung]] von <math>X</math> bzgl. <math>a</math> (physikalisch: das Trägheitsmoment bzgl. der Achse <math>a</math>) ist gleich der Varianz (physikalisch: gleich dem Trägheitsmoment bzgl. der Achse durch den Schwerpunkt <math>\mu</math>) plus dem Quadrat der Verschiebung <math>\mu -a</math>.

''Beweis:'' <math>\mathbb E\left((X-a)^2\right)=\mathbb E\left((X-\mu +\mu -a)^2\right)=\operatorname{Var}(X)+ 2\mathbb E\left((X-\mu)(\mu-a)\right)+(\mu -a)^2</math>. Der mittlere Term ergibt unter Ausnutzung der Linearität des Erwartungswertes:<ref>Ansgar Steland: ''Basiswissen Statistik.'' Springer, 2016, ISBN 978-3-662-49948-1, S. 116, {{Google Buch |BuchID=2Th4DQAAQBAJ |Seite=116 |Hervorhebung=verschiebungssatz+statistik}}.</ref> <math> 2\mathbb E\left((X-\mu)(\mu-a)\right)= 2(\mu -a)(\mathbb E\left(X\right)-\mu)=0</math>. Damit ist obige Formel bewiesen.

Aus dem Verschiebungssatz ergibt sich überdies für beliebiges reelles <math>a</math>:
:<math>\operatorname{Var}(X)\le \mathbb E\left((X-a)^2\right)\quad</math> bzw. <math>\quad\operatorname{Var}(X)=\min_{a \in R}\mathbb E\left((X-a)^2\right)</math>.
(siehe auch [[Fréchet-Prinzip]])

Für <math>a=0</math> erhält man als bekannteste Variante des Verschiebungssatzes
:<math>\operatorname{Var}(X)=\mathbb E\left(X^2\right)-\mu^2</math>  
Die Varianz als zentrales, auf den Erwartungswert (das „Zentrum“) bezogenes Moment lässt sich also auch als nicht-zentrales Moment ausdrücken.

Aus dem Verschiebungssatz folgt wegen der [[Nichtnegativitätsbedingung]] der Varianz, dass <math>\mathbb E\left(X^2\right)-\left(\mathbb E(X)\right)^2 \geq 0</math>; somit ist <math>\mathbb E\left(X^2\right) \geq \left(\mathbb E(X)\right)^2</math>. Dieses Resultat ist ein Spezialfall der [[Jensensche Ungleichung|jensenschen Ungleichung]] für Erwartungswerte. Der Verschiebungssatz beschleunigt die Berechnung der Varianz, da der dazu nötige Erwartungswert von <math>X^2</math> zusammen mit <math>\mu</math> gebildet werden kann, während sonst <math>\mu</math> bereits bekannt sein muss – konkret für diskrete beziehungsweise stetige Zufallsvariablen liefert er:
{| class="wikitable zebra left" style="text-align:center"
|-
|'''Falls <math>X</math> diskret'''
|'''Falls <math>X</math> stetig'''
|----
| align="right" |<math>\sigma^2 = \left( \sum_{i \geq 1} x_i^2 p_i \right) - \left( \sum_{i \geq 1} x_i p_i \right) ^2</math>
| align="right" |<math>\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,\mathrm dx -\left( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,\mathrm dx\right) ^2</math>
|----
|}

=== Lineare Transformation ===
Für zwei Konstanten <math>a,b \in \mathbb{R}</math> gilt:

* Die Varianz einer Konstanten ist Null, da Konstanten per Definition nicht zufällig sind und somit auch nicht streuen: <math>\operatorname{Var}(a) = 0</math>; <math>\operatorname{Var}(b) = 0</math>
* [[Translationsinvarianz]]: Für additive Konstanten gilt <math>\operatorname{Var}(X+b) = \mathbb E\left((X+b  - \mu -b)^2 \right)=\operatorname{Var}(X)</math>. Dies bedeutet, dass eine „Verschiebung der Zufallsvariablen“ um einen konstanten Betrag keine Auswirkung auf deren Streuung hat.
* Im Gegensatz zu additiven Konstanten haben multiplikative Konstanten eine Auswirkung auf die Skalierung der Varianz. Bei multiplikativen Konstanten wird die Varianz mit der quadrierten der Konstanten, also <math>a^2</math>, skaliert.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;233.</ref> Dies kann wie folgt gezeigt werden:

:<math>\operatorname{Var}(aX) = \mathbb E\left((aX  - a\mu )^2 \right)= \mathbb E\left( a^2(X  - \mu )^2 \right)=a^2\operatorname{Var}(X)</math>.

Hierbei wurde die Eigenschaft der [[Erwartungswert#Linearität|Linearität des Erwartungswertes]] benutzt. Zusammengefasst ergibt die Varianzbildung einer linearen transformierten Zufallsvariable <math>Y=aX+b</math>:

:<math>\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(aX+b) =a^2\operatorname{Var}(X)</math>.

Insbesondere für <math>a =-1</math> folgt <math>\operatorname{Var}(-X) = \operatorname{Var}(X)</math>, das heißt, das [[Positive und negative Zahlen#Vorzeichen|Vorzeichen]] der Varianz ändert sich nicht, wenn sich das Vorzeichen der Zufallsvariablen ändert.

Jede Zufallsvariable kann durch ''Zentrierung'' und anschließende ''Normierung'', genannt [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierung]], in eine Zufallsvariable <math>Z</math> überführt werden. Diese Normierung ist eine lineare Transformation. Die derart standardisierte Zufallsvariable <math>Z</math> weist eine Varianz von <math>1</math> und einen Erwartungswert von <math>0</math> auf.

=== Beziehung zur Standardabweichung ===
Die Varianz einer Zufallsvariable wird immer in Quadrateinheiten angegeben.<ref>Gerhard Hübner: ''Stochastik: Eine Anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker.'' 3. Auflage, 2002, S. 103.</ref> Dies ist problematisch, weil quadrierte Einheiten, die auf diesem Wege zustande kommen – wie zum Beispiel <math>\text{cm}^2</math> –, keine sinnvolle Interpretation bieten; die Interpretation als Flächenmaß ist im vorliegenden Beispiel unzulässig. Um die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable zu erhalten, wird daher statt der Varianz i.&nbsp;d.&nbsp;R. die Standardabweichung verwendet. Sie hat die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable selbst und misst somit, bildlich gesprochen, „mit dem gleichen Maß“.

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz<ref>Lothar Papula: ''Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.'' Band 3: ''Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung.'' 1994, S. 338.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=108 |DOI=10.1515/9783110215274}}</ref>

:<math>\operatorname{SD}(X):= +\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=+\sqrt{\mathbb E\left( (X-\mu)^2\right)}</math>.

Sie wird als <math>\operatorname{SD}(X)</math> (gelegentlich auch als <math>D(X)</math>), <math>\sigma_X</math>, oder einfach als <math>\sigma</math> ([[Sigma]]) notiert. Ferner eignet sich die Standardabweichung zur Quantifizierung von Unsicherheit bei [[Entscheidung unter Risiko|Entscheidungen unter Risiko]], weil sie, im Unterschied zur Varianz, den Anforderungen an ein [[Risikomaß]] genügt.

Bei einigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere der [[Normalverteilung]], können aus der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. So befinden sich bei der Normalverteilung immer ca. 68 % der Werte im Intervall von der Breite von zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert. Beispiel hierfür ist die [[Körpergröße]]: Sie ist für eine Nation und Geschlecht ''annähernd'' normalverteilt, so dass z.&nbsp;B. in Deutschland 2006 ca. 68 % aller Männer etwa zwischen 171 und 186 cm groß waren (ca. <math>178{,}3 \pm 7{,}3 \;\text{cm}</math>, also „Erwartungswert plus/minus Standardabweichung“).<ref>Quelle: SOEP 2006[http://de.statista.com/statistik/daten/studie/1825/umfrage/koerpergroesse-nach-geschlecht/ Körpergröße der Deutschen] Statistik des [[Sozio-oekonomisches Panel|Sozio-oekonomischen Panels (SOEP)]], aufbereitet durch [[Statista|statista.org]]</ref>

Für die Standardabweichung gilt für jede Konstante <math>c</math>, <math>\operatorname{SD}(c)=0</math>. Im Gegensatz zur Varianz gilt für die Standardabweichung die Rechenregel <math>\operatorname{SD}(aX+b)=|a|\operatorname{SD}(X)</math> mit <math>a,b\in \mathbb{R}</math> für lineare Transformationen, das heißt die Standardabweichung wird im Gegensatz zur Varianz ''nicht'' mit dem Quadrat <math>a^2</math> der Konstanten skaliert. Insbesondere gilt für <math>a>0</math>, <math>\operatorname{SD}(aX+b)=a \cdot\operatorname{SD}(X)</math>.

=== Beziehung zur Kovarianz ===
{{Hauptartikel|Kovarianz (Stochastik)}}
Im Gegensatz zur Varianz, die lediglich die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, misst die Kovarianz die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Die Varianz ist demnach die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst <math>\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)</math>. Diese Beziehung folgt direkt aus der Definition der Varianz und Kovarianz. Die Kovarianz zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> wird auch mit <math>\sigma_{XY}</math> abgekürzt. Außerdem gilt, da die Kovarianz eine [[Definitheit#Definitheit von Matrizen|positiv semidefinite]] [[Bilinearform]] ist, die [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]:
:<math> (\operatorname{Cov}(X,Y))^2\leq \operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y) </math>.

Diese Ungleichung gehört zu den bedeutendsten in der Mathematik und findet vor allem in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] Anwendung.

=== Summen und Produkte ===
Für die Varianz einer beliebigen Summe von Zufallsvariablen <math>X=a_1 X_1+\dotsb+a_n X_n</math> gilt allgemein:<ref>Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 106.</ref><ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;329.</ref>

:<math>\begin{align}
 \operatorname{Var}\left(X\right)
 &= a_1^2 \operatorname{Var}\left(X_1\right)+\dotsb+a_n^2\operatorname{Var}\left(X_n\right)+2a_1 a_2\operatorname{Cov}\left(X_1,X_2\right)+2a_1 a_3\operatorname{Cov}\left(X_1,X_3\right)+\dotsb \\
 &=  \sum\nolimits_{i=1}^n a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum\nolimits_{i<j}a_i a_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
\end{align}</math>.

Hierbei bezeichnet <math>\operatorname{Cov}\left(X_i, X_j\right)</math> die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] der Zufallsvariablen <math>X_i</math> und <math>X_j</math> und es wurde die Eigenschaft <math>\operatorname{Cov}\left(X_i,X_i\right) = \operatorname{Var}\left(X_i\right)</math> verwendet. Berücksichtigt man das Verhalten der Varianz bei linearen Transformationen, dann gilt für die Varianz der [[Linearkombination]], beziehungsweise der gewichteten Summe, zweier Zufallsvariablen:

:<math>\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2\operatorname{Var}(X) + b^2\operatorname{Var}(Y) + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y)</math>.

Speziell für zwei Zufallsvariablen <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>a=b=1</math> ergibt sich beispielsweise
:<math>\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)</math>.<ref>L. Kruschwitz, S. Husmann: ''Finanzierung und Investition.'' Jahr?, S. 471.</ref>

Dies bedeutet, dass die Variabilität der Summe zweier Zufallsvariablen der Summe der einzelnen Variabilitäten und dem zweifachen der gemeinsamen Variabilität der beiden Zufallsvariablen ergibt.

Ein weiterer Grund, warum die Varianz anderen Streuungsmaßen vorgezogen wird, ist die nützliche Eigenschaft, dass die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen der Summe der Varianzen entspricht:

:<math>\operatorname{Var}(X\pm Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)</math>.<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Rita Künstler]], [[Iris Pigeot]], und [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S.&nbsp;233.</ref><ref>Otfried Beyer, Horst Hackel: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 1976, S. 86.</ref>

Dies resultiert daraus, dass bei unabhängigen Zufallsvariablen <math>\operatorname{Cov}(X,Y)=0</math> gilt. Diese Formel lässt sich auch verallgemeinern: Wenn <math>\{X_1,\dotsc,X_n\}</math> paarweise unkorrelierte Zufallsvariablen sind (das heißt ihre Kovarianzen sind alle gleich Null), gilt

:<math>\operatorname{Var}\left(X_1 + \dotsb + X_n\right)=\operatorname{Var}(X_1) + \dotsb + \operatorname{Var}(X_n)</math>,

oder allgemeiner mit beliebigen Konstanten <math>a_1,\dotsc,a_n</math>

:<math>\begin{align}
 \operatorname{Var}\left(a_1 X_1+ \dotsb + a_n X_n\right) = a_1^2 \operatorname{Var}\left(X_1\right)+\dotsb+a_n^2\operatorname{Var}\left(X_n\right)
\end{align}</math>.

Dieses Resultat wurde 1853 vom französischen Mathematiker [[Irénée-Jules Bienaymé]] entdeckt und wird daher auch als [[Gleichung von Bienaymé]] bezeichnet.<ref>Irénée-Jules Bienaymé: "Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés", ''Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris.'' 37, 1853, S. 309–317.</ref><ref>Michel Loeve: ''Probability Theory.'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Volume 45). 4. Auflage, Springer-Verlag, 1977, ISBN 3-540-90210-4, S.&nbsp;12.</ref> Sie gilt insbesondere dann, wenn die Zufallsvariablen [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängig]] sind, denn aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit. Wenn alle Zufallsvariablen die gleiche Varianz <math>\sigma^2</math> haben, bedeutet dies für die Varianzbildung des Stichprobenmittels:

:<math>\operatorname{Var}\left(\overline{X}\right) = \operatorname{Var}\left(\frac {1} {n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac {1} {n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}\left(X_i\right) = \frac {\sigma^2} {n}</math>.

Man kann erkennen, dass die Varianz des [[Stichprobenmittel]]s sinkt, wenn der Stichprobenumfang <math>n</math> steigt. Diese Formel für die Varianz des Stichprobenmittels wird bei der Definition des [[Standardfehler#Standardfehler des arithmetischen Mittels|Standardfehlers]] des Stichprobenmittels benutzt, welcher im zentralen Grenzwertsatz angewendet wird.

Sind zwei Zufallsvariablen <math>X</math> and <math>Y</math> unabhängig, dann ist die Varianz ihres Produktes gegeben durch<ref>[[Leo Goodman|Leo A. Goodman]]: ''On the exact variance of products.'' In: ''[[Journal of the American Statistical Association]].'' Dezember 1960, S. 708–713. [[doi:10.2307/2281592]]</ref>
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Var}(XY) &= (\mathbb E(X))^2 \operatorname{Var}(Y) + (\mathbb E(Y))^2 \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)
\end{align}
</math>.

=== Zusammengesetzte Zufallsvariable ===
Ist <math> Y </math> eine ''zusammengesetzte Zufallsvariable'', d.&nbsp;h. sind <math> N, X_1, X_2, \dotsc</math> unabhängige Zufallsvariablen, sind die <math>X_i</math> [[Zufallsvariable#Identisch verteilt|identisch verteilt]] und ist <math>N</math> auf <math> \mathbb{N}_0 </math> definiert, so lässt sich <math> Y </math> darstellen als <math> Y:=\sum\nolimits_{i=1}^NX_i </math>. Existieren die zweiten Momente von <math> N, X_1, X_2, \dotsc</math>, so gilt für die zusammengesetzte Zufallsvariable:
:<math> \operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(N)\left(\mathbb E\left(X_1\right)\right)^2+\mathbb E(N)\operatorname{Var}\left(X_1\right) </math>.

Diese Aussage ist auch als [[Blackwell-Girshick-Gleichung]] bekannt und wird z.&nbsp;B. in der [[Schadensversicherungsmathematik]] benutzt.

=== Momenterzeugende und kumulantenerzeugende Funktion ===
Mithilfe der [[Momenterzeugende Funktion|momenterzeugenden Funktion]] lassen sich Momente wie die Varianz häufig einfacher berechnen. Die momenterzeugende Funktion ist definiert als Erwartungswert der Funktion <math>e^{tX}</math>. Da für die momenterzeugende Funktion <math>\mathbb E\left(e^{tX}\right)</math><ref>Wolfgang Kohn: ''Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung.'' Jahr?, S. 250.</ref> der Zusammenhang
:<math>M_X^{(n)}(t=0) = \mathbb E\left(X^n\right)</math>
gilt, lässt sich die Varianz, durch den Verschiebungssatz, damit auf folgende Weise berechnen:
:<math>\operatorname{Var}(X) = \mathbb E\left(X^2\right) - (\mathbb E(X))^2 = M_X''(0) - \left( M_X'(0)\right)^2</math>.
Hierbei ist <math>M_X</math> die momenterzeugende Funktion und <math>M_X^{(n)}</math> die <math>n</math>-te Ableitung dieser. Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] einer Zufallsvariable ergibt sich als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion und ist definiert als:
:<math> g_X(t):=\ln \mathbb E (e^{tX}) </math>.

Leitet man sie zweimal ab und wertet sie an der Stelle Null aus, so erhält man für die Varianz <math>g''_X(t)\bigg|_{t=0}=\sigma^2</math>. Die zweite [[Kumulante]] ist also die Varianz.

=== Charakteristische und wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Die Varianz einer Zufallsvariable <math>X</math> lässt sich auch mit Hilfe ihrer [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristischen Funktion]] <math>\varphi_{X}(t)=\mathbb E\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)</math> darstellen. Wegen

:<math>\mathbb E(X^k) =\frac{\varphi_X''(0)}{\mathrm{i}^k}\;,k=1,2,\dots</math> und <math>(\mathbb E(X))^2= \left(\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}\right)^{2}</math> folgt nämlich mit dem Verschiebungssatz:
:<math>\operatorname{Var}(X)
= \mathbb E(X^2) - (\mathbb E(X))^2
= \frac{\varphi_X''(0)}{\mathrm{i}^2} - \left(\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}\right)^{2}</math>.<ref>Otfried Beyer, Horst Hackel: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 1976, S. 97.</ref>

Auch mit der [[Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion]] <math> m_X(t)=\mathbb E(t^X) </math>, die in Beziehung zur charakteristische Funktion steht lässt sich für diskrete <math> X </math> die Varianz berechnen. Es gilt dann für die Varianz <math>\sigma^2 = \lim_{t \uparrow 1} \left( m_X''(t) + m_X'(t) - m_X'(t)^2 \right)</math>, falls der [[Grenzwert (Funktion)#Einseitige Grenzwerte|linksseitige Grenzwert]] existiert.

=== Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert ===
Im Falle einer diskreten Zufallsvariable <math>X</math> mit abzählbar endlichem [[Träger (Maßtheorie)|Träger]] <math>\mathcal T = \{x_1,x_2,\dotsc,x_n\} \subset \R</math> ergibt sich die Varianz der Zufallsvariable <math>\operatorname{Var}(X)</math> als

:<math>\operatorname{Var}(X)=p_1(x_1 - \mu)^2 +p_2 (x_2 - \mu)^2 + \dotsb + p_n\left(x_n - \mu\right)^2</math>.

Hierbei ist <math>p_i=P\left(X=x_i\right)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass <math>X</math> den Wert <math>x_i</math> annimmt. Diese Varianz kann als eine gewichtete Summe der Werte <math>\left(x_1 - \mu\right)^2,\left(x_2 - \mu\right)^2,\dotsc,\left(x_n - \mu\right)^2</math> gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten <math>p_1,p_2,\dotsc,p_n</math> interpretiert werden. 

Falls <math>X</math> [[Diskrete Gleichverteilung|gleichverteilt]] auf <math>\{x_1,x_2,\dotsc,x_n\} \subset \R</math> ist (<math>p_1=p_2=\dotsb=p_n=1/n</math>), gilt für den Erwartungswert, dass er gleich dem arithmetischen Mittel ist (siehe [[Arithmetisches Mittel#Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert|Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert]]):

:<math> \mu=\operatorname E(X)= \frac{1}{n} \left(x_1 + x_2 + \dotsb + x_n\right)=\frac1n \sum_{i=1}^n{x_i}= \overline x</math>

Folglich wird die Varianz <math>\operatorname{Var}(X)=p_1\left(x_1 - \mu\right)^2 +p_2 \left(x_2 - \mu\right)^2 + \dotsb + p_n\left(x_n - \mu\right)^2</math> zum arithmetischen Mittel der Werte <math>\left(x_i - \overline x\right)^2</math>:

:<math>\sigma^2=\operatorname{Var}(X)= \frac{1}{n} \left(\left(x_1 - \overline x\right)^2+\left(x_2 - \overline x\right)^2+\dotsb+\left(x_n - \overline x\right)^2\right)=\frac1n \sum_{i=1}^n{\left(x_i-\overline x\right)^2}= s^2</math>.

D.&nbsp;h., die Varianz ist bei Gleichverteilung gerade die ''mittlere quadratische Abweichung vom [[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]]'' bzw. die [[Empirische Varianz|Stichprobenvarianz]] <math>s^2</math>.

== Varianzen spezieller Verteilungen ==

In der Stochastik gibt es eine [[Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Vielzahl von Verteilungen]], die meist eine unterschiedliche Varianz aufweisen und oft in [[Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Beziehung zueinander stehen]]. Die Varianz der Normalverteilung ist von großer Bedeutung, da die Normalverteilung in der Statistik eine außerordentliche Stellung einnimmt. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. Eine Auswahl wichtiger Varianzen ist in nachfolgender Tabelle zusammengefasst:

{| class="wikitable zebra left" style="text-align:center"
|-
|'''Verteilung'''
| align="right" |'''Stetig/diskret'''
|'''Wahrscheinlichkeitsfunktion'''
| align="right" |'''Varianz'''
|----
| align="right" |[[Normalverteilung]]
| align="right" |Stetig
| align="right" |<math>f(x\mid \mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}</math>
| align="right" |<math>\sigma^2</math>
|----
| align="right" |[[Cauchy-Verteilung]]
| align="right" |Stetig
| align="right" |<math> f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}</math>
| align="right" |existiert nicht
|----
| align="right" |[[Bernoulli-Verteilung]]
| align="right" |Diskret
| align="right" |<math> f(x\mid p) = \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x} & \text{falls} \quad x=0,1 \\
0 & \text{sonst.}\end{cases}</math>
| align="right" |<math>pq</math>
|----
| align="right" |[[Binomialverteilung]]
| align="right" |Diskret
| align="right" |<math>f(x\mid n,p)=\begin{cases}
  \binom nx p^x (1-p)^{n-x} &\text{falls} \quad x=0,1,\dots,n\\
  0            & \text{sonst.}
\end{cases}</math>
| align="right" |<math>npq</math>
|----
| align="right" |[[Stetige Gleichverteilung]]
| align="right" |Stetig
| align="right" |<math>f(x)=\begin{cases}
  \frac 1{b-a} & a \le x \le b\\
  0            & \text{sonst.}
\end{cases}</math>
| align="right" |<math>\frac{1}{12}(b - a)^2</math>
|----
| align="right" |[[Poisson-Verteilung]]
| align="right" |Diskret
| align="right" |<math>f(x)=\begin{cases}
  \frac{\lambda^x}{x!}\, \mathrm{e}^{-\lambda} &\text{falls} \quad x\in \{0,1,\dots\}\\
  0            & \text{sonst.}
\end{cases}</math>
| align="right" |<math>\lambda</math>
|----
|}

== Beispiele ==

=== Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen ===

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable <math>X</math>, welche die Werte <math>-1</math>,
<math>1</math> und <math>2</math> mit je den Wahrscheinlichkeiten <math>0{,}5</math>, <math>0{,}3</math> und
<math>0{,}2</math> annimmt. Diese Werte lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen

{| class="wikitable zebra left" style="text-align:center"
|-
|<math>X=x_i</math>
| align="right" |<math>-1</math>
|<math>1</math>
| align="right" |<math>2</math>
| align="right" |
|----
| align="right" |<math>P(X=x_i)=p_i</math>
| align="right" |<math>0{,}5</math>
| align="right" |<math>0{,}3</math>
| align="right" |<math>0{,}2</math>
| align="right" |<math>\sum_{i}p_i=1</math>
|----
|}
Der Erwartungswert beträgt nach obiger Definition
:<math>{\color{BrickRed}\mu} = \sum_{i = 1}^3x_i p_i=-1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = {\color{BrickRed}0{,}2}</math>.
Die Varianz ist demnach gegeben durch

:<math>\sigma^2 = \sum_{i = 1}^3(x_i - {\color{BrickRed}\mu})^2 p_i = (-1- {\color{BrickRed}0{,}2})^2 \cdot 0{,}5 +(1-{\color{BrickRed}0{,}2})^2 \cdot 0{,}3 +(2-{\color{BrickRed}0{,}2})^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}56</math>.

Mit dem Verschiebungssatz erhält man ebenfalls den gleichen Wert für die Varianz:

:<math>\sigma^2=\left(\sum_{i = 1}^3 x_i^2 p_i \right) - \left( \sum_{i = 1}^3 x_i p_i \right)^2 = (-1)^2 \cdot 0{,}5 +1^2 \cdot 0{,}3 +2^2 \cdot 0{,}2 - {\color{BrickRed}0{,}2}^2 = 1{,}56</math>.

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

:<math>\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1{,}56} \approx 1{,}249</math>.

=== Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen ===

Eine stetige Zufallsvariable habe die [[Dichtefunktion]]
:<math> f(x) =
\begin{cases}
  \frac {1}{x} & \text{falls} \quad 1 \le x \le e \\
   0           & \text{sonst.}
\end{cases}
</math>,

mit dem Erwartungswert von <math>X</math>

:<math>{\color{BrickRed}\mu} = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x}\, \mathrm{d}x =\color{BrickRed}{e - 1}</math>

und dem Erwartungswert von <math>X^2</math>
:<math>
  \mathbb E\bigl(X^2\bigr)
   = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x)\, \mathrm{d}x
   = \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x}\, \mathrm{d}x
   = \left[ \frac{x^2}{2}\right] _1^e
   = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}
</math>.

Die Varianz dieser Dichtefunktion berechnet sich mit Hilfe des Verschiebungssatzes wie folgt:
:<math>\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,\mathrm d x  - {\color{BrickRed}\mu}^2
  = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -{\color{BrickRed}(e - 1)}^2
  \approx 0{,}242
</math>.

== Stichprobenvarianz als Schätzer für die Varianz ==
{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}
Seien <math>X_1, \dots, X_n</math> reelle [[unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen]] mit dem Erwartungswert <math>\mathbb E(X_i)=b</math> und der endlichen Varianz <math> \sigma^2= \operatorname{Var}(X_i)</math>. Ein Schätzer für den Erwartungswert <math>b</math> stellt das [[Stichprobenmittel]] <math>\overline X_n</math> dar, da nach dem [[Gesetz der großen Zahlen]] gilt:

:<math>\overline X_n  \;\overset{p}{\longrightarrow}  \; b </math>.

Es wird im Folgenden ein [[Punktschätzer|Schätzer]] für die Varianz <math> \sigma^2</math> gesucht. Ausgehend von <math>X_1, \dots, X_n</math> definiert man sich die Zufallsvariablen <math>Y_i:=(X_i-b)^2,\quad i=1,\dots,n</math>. Diese sind [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilt]] mit dem Erwartungswert <math>\mathbb E(Y_i) =\mathbb E(X_i-b)^2=\sigma^2</math>. Ist <math>Y</math> nun quadratisch integrierbar, dann ist das [[Gesetz der großen Zahlen#Schwaches Gesetz der großen Zahlen|schwache Gesetz der großen Zahlen]] anwendbar, und es gilt:

:<math>\overline Y_n =\frac{1}{n}\sum_{i =1}^n(X_i-b)^2 \;\overset{p}{\longrightarrow}  \; \sigma^2</math>.

Wenn man nun <math>b</math> durch <math>\overline X_n</math> ersetzt, liefert dies die sogenannte Stichprobenvarianz. Aus diesem Grund stellt wie oben gezeigt die Stichprobenvarianz

:<math> \widetilde S_{n}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X_n )^2 </math>

eine [[Induktive Statistik|induktive Entsprechung]] der Varianz im stochastischen Sinne dar.<ref>Georg Neuhaus: ''Grundkurs Stochastik.'' Jahr?, S. 290.</ref>

== Bedingte Varianz ==
{{Hauptartikel|Bedingte Varianz}}
Analog zu [[Bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswerten]] lassen sich beim Vorliegen von Zusatzinformationen, wie beispielsweise den Werten einer weiteren Zufallsvariable, bedingte Varianzen [[Bedingte Verteilung|bedingter Verteilungen]] betrachten. Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei reelle Zufallsvariablen, dann heißt die Varianz von <math>X</math>, die auf <math>Y=y</math> konditioniert ist
:<math>\operatorname{Var}(X \mid Y=y) = \mathbb E\bigl( (X - \mathbb E(X \mid y))^2\mid y\bigr)</math><ref>Jeffrey M. Wooldrige: ''Introductory Econometrics: A Modern Approach.'' 5. Auflage, 2012, S. 736.</ref>
die ''bedingte Varianz von <math>X</math> gegeben <math>Y=y</math>'' (oder ''Varianz von <math>X</math> bedingt auf <math>Y=y</math>'').<ref>Toni C. Stocker, Ingo Steinke: ''Statistik: Grundlagen und Methodik.'' de Gruyter Oldenbourg, Berlin 2017, ISBN 978-3-11-035388-4, S. 319.</ref> Um die „gewöhnliche “ Varianz <math>\operatorname{Var}(X)</math> stärker von der bedingten Varianz <math>\operatorname{Var}(X \mid Y=y)</math> zu unterscheiden, spricht man bei der gewöhnlichen Varianz auch von der ''unbedingten Varianz''.

== Verallgemeinerungen ==
=== Varianz-Kovarianz-Matrix ===
{{Hauptartikel|Kovarianzmatrix}}
Im Falle eines reellen Zufallsvektors <math>\boldsymbol X = (X_1, \dots, X_p)^{\top}</math> mit dem dazugehörigen [[Erwartungswertvektor]]<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang, Brian Marx: ''Regression: models, methods and applications.'' Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S.&nbsp;646.</ref> <math>\boldsymbol \mu = (\mu_1, \dots, \mu_p)^{\top}</math> verallgemeinert sich die Varianz beziehungsweise Kovarianz zu der symmetrischen Varianz-Kovarianz-Matrix (oder einfach Kovarianzmatrix) des Zufallsvektors:

:<math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X}) = \mathbb E\left((\boldsymbol X-\boldsymbol \mu)(\boldsymbol X-\boldsymbol \mu)^{\top}\right)</math>.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S.&nbsp;43.</ref>

Der Eintrag der <math>i</math>-ten Zeile und <math>j</math>-ten Spalte der Varianz-Kovarianz-Matrix <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X})</math> ist die Kovarianz <math>\operatorname{Cov}(X_i, X_j), \; i\ne j</math> der Zufallsvariablen <math>X_i</math> und <math>X_j</math> und in der Diagonale stehen die Varianzen <math>\operatorname{Cov}(X_i,X_i)=\operatorname{Var}(X_i)</math>.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S.&nbsp;43.</ref> Da die Kovarianzen ein Maß für die [[Korrelation]] zwischen Zufallsvariablen darstellen und die Varianzen lediglich ein Maß für die Variabilität, enthält die Varianz-Kovarianz-Matrix Informationen über die Streuung und Korrelationen zwischen all seinen Komponenten. Da die Varianzen und Kovarianzen per Definition stets nicht-negativ sind, gilt analog für die Varianz-Kovarianz-Matrix, dass sie [[Definitheit#Definitheit von Matrizen|positiv semidefinit]] ist.<ref>Wilfried Hausmann, Kathrin Diener, Joachim Käsler: ''Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection: Stochastische Finanzmarktmodelle und ihre Anwendungen.'' 2002, S. 15.</ref> Die Varianz-Kovarianz-Matrix dient bei der Beurteilung von [[Punktschätzer|Schätzern]] als [[Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix als Effizienzkriterium|Effizienzkriterium]]. Im Allgemeinen gilt, dass sich die Effizienz eines Parameterschätzers anhand der „Größe“ seiner Varianz-Kovarianz-Matrix messen lässt. Es gilt: Je „kleiner“ die Varianz-Kovarianz-Matrix, desto „größer“ die Effizienz des Schätzers.

=== Matrixnotation für die Varianz einer Linearkombination ===

Es sei <math>\boldsymbol X</math> ein [[Spaltenvektor]] von <math>p</math> Zufallsvariablen <math>X_1, \ldots, X_p</math>, und <math>\boldsymbol a</math> ein Spaltenvektor bestehend aus <math>p</math> Skalaren <math>a_1, \ldots, a_p</math>. Dies bedeutet, dass <math>\boldsymbol a^{\top}\boldsymbol X</math> eine [[Linearkombination]] dieser Zufallsvariablen ist, wobei <math>\boldsymbol a^{\top}</math> die Transponierte von <math>\boldsymbol a</math> bezeichnet. Sei <math>\boldsymbol \Sigma_{\boldsymbol X} = (\sigma_{ij})</math> die Varianz-Kovarianz-Matrix von <math>\boldsymbol X</math>. Die Varianz von <math>\boldsymbol a^{\top}\boldsymbol X</math> ist dann gegeben durch:

:<math>\operatorname{Var}(\boldsymbol a^{\top}\boldsymbol X) = \boldsymbol a^{\top}\boldsymbol  \Sigma_{\boldsymbol X} \boldsymbol a =\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p a_{i}a_{j}\sigma_{ij}</math>.<ref>Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: ''Regression: models, methods and applications.'' Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S.&nbsp;647.</ref>

== Verwandte Maßzahlen ==
Fasst man die Varianz als Streuungsmaß der Verteilung einer Zufallsvariable auf, so ist sie mit den folgenden Streuungsmaßen verwandt:
* [[Variationskoeffizient]]: Der Variationskoeffizient als Verhältnis von Standardabweichung und Erwartungswert und damit ein dimensionsloses Streuungsmaß
* [[Streuung (Statistik)#Quantilsabstand|Quantilabstand]]: Der Quantilabstand zum Parameter <math>p</math> gibt an, wie weit das <math>p</math>- und das <math>(1-p)</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] voneinander entfernt sind
* [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|Mittlere absolute Abweichung]]: Die mittlere absolute Abweichung als [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|erstes absolutes zentrales Moment]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Varianz und Standardabweichung|Varianz und Standardabweichung}}
{{Commons|Standard deviation|Standardabweichung}}
{{Commonscat|Variance|Varianz}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld | title = Variance | id = Variance}}
* [https://www.mathebibel.de/varianz Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall] auf www.mathebibel.de

== Literatur ==
* George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988
* Ludwig Fahrmeir u. a.: ''Statistik: Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-50371-3.

== Anmerkungen ==

<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4078739-4}}
[[Kategorie:Zufallsvariable]]
[[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Stochastik]]
{{Lesenswert|20. November 2017|171224888}}